Номер 1178, страница 263 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1178, страница 263.

1178. Вычислите:

a) ${\left(-4\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-4\right)}^3}=\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}$

б) $2,5^{-1}=\frac{1}{2,5}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}=0,42,5^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{2,5\}=\backslash frac\{10\}\{25\}=\backslash frac\{2\}\{5\}=0,4$

в) ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{9}{16}}}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$

г) ${\left(1\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{64}{27}}}=\frac{27}{64}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}-0,4^{-4}=-\frac{1}{0,4^4}=-\frac{1}{0,0256}=-\frac{10000}{256}= \\ =-\frac{625}{16}=-39\frac{1}{16} \end{gathered}$$

e) $-{\left(2\frac{1}{2}\right)}^{-2}=-{\left(\frac{5}{2}\right)}^{-2}=-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2}=-\frac{1}{{\displaystyle \frac{25}{4}}}=-\frac{4}{25}$

а) Для вычисления $ (-4)^{-3} $ используется свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $. Применяя это правило, получаем: $ (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} $. Так как $ (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64 $, то итоговый результат равен $ \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64} $.

Ответ: $ -\frac{1}{64} $.

б) Для вычисления $ 2,5^{-1} $ используется свойство $ a^{-1} = \frac{1}{a} $. Таким образом, $ 2,5^{-1} = \frac{1}{2,5} $. Чтобы преобразовать выражение, можно представить $ 2,5 $ как обыкновенную дробь $ \frac{5}{2} $, тогда $ \frac{1}{2,5} = \frac{1}{5/2} = \frac{2}{5} $. Другой способ — избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10: $ \frac{1 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{10}{25} $, что после сокращения на 5 дает $ \frac{2}{5} $.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

в) Для вычисления $ (-\frac{3}{4})^{-2} $ используется свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $. Согласно этому свойству, мы переворачиваем дробь и меняем знак показателя на положительный: $ (-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^{2} $. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) результат становится положительным: $ (-\frac{4}{3})^{2} = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9} $.

Ответ: $ \frac{16}{9} $.

г) Для вычисления $ (1\frac{1}{3})^{-3} $ сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь: $ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $. Теперь задача сводится к вычислению $ (\frac{4}{3})^{-3} $. Используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $, получаем: $ (\frac{4}{3})^{-3} = (\frac{3}{4})^{3} = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} $.

Ответ: $ \frac{27}{64} $.

д) При вычислении $ -0,4^{-4} $ важно обратить внимание, что знак минус стоит перед числом и не находится в скобках, поэтому он не является частью основания степени. Порядок действий следующий: сначала возводим $ 0,4 $ в степень $ -4 $, а затем к результату применяем знак минус. Преобразуем $ 0,4 $ в обыкновенную дробь: $ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $. Тогда $ 0,4^{-4} = (\frac{2}{5})^{-4} = (\frac{5}{2})^{4} = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16} $. Применив знак минус, получаем $ -\frac{625}{16} $.

Ответ: $ -\frac{625}{16} $.

е) Выражение $ -(2\frac{1}{2})^{-2} $ вычисляется аналогично предыдущему примеру. Знак минус не относится к основанию степени. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} $. Затем вычисляем значение степени: $ (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25} $. Наконец, применяем знак минус к полученному результату: $ -\frac{4}{25} $.

Ответ: $ -\frac{4}{25} $.