Номер 1183, страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

47. Определение степени с целым отрицательным показателем. § 15. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1183, страница 264.

1183. Найдите значения выражений xⁿ и x⁻ⁿ, если:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x=\frac{1}{2}, n=2 \\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}; {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x=-\frac{1}{3}, n=3 \\ {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=-\frac{1}{27}; {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{-{\displaystyle \frac{1}{27}}}=-27 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}x=\frac{2}{3}, n=-2 \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{9}}}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4} \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-(-2)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}x=-1,5, n=3 \\ {\left(-1,5\right)}^3=-3,375 \\ {\left(-1,5\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-1,5\right)}^3}=\frac{1}{-3,375}=-\frac{1000}{3375}=-\frac{8}{27} \end{gathered}$$

а) При $x = \frac{1}{2}$ и $n = 2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$:
$x^n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: $x^n = \frac{1}{4}$, $x^{-n} = 4$.

б) При $x = -\frac{1}{2}$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$:
$x^n = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (-\frac{1}{2})^{-3} = (-\frac{2}{1})^3 = (-2)^3 = -8$.
Ответ: $x^n = -\frac{1}{8}$, $x^{-n} = -8$.

в) При $x = \frac{2}{3}$ и $n = -2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$. Подставляем $n = -2$:
$x^n = (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$. Так как $n = -2$, то $-n = -(-2) = 2$.
$x^{-n} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $x^n = \frac{9}{4}$, $x^{-n} = \frac{4}{9}$.

г) При $x = -1,5$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала представим десятичную дробь $x = -1,5$ в виде обыкновенной: $x = -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Вычислим $x^n$:
$x^n = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $x^n = -\frac{27}{8}$, $x^{-n} = -\frac{8}{27}$.