Страница 264 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1179. Сравните с нулём значение степени:

a) $9^{-5}=\frac{1}{9^5}>09^\{-5\}=\backslash frac\{1\}\{9^5\}\; >\; 0$

б) $2,6^{-4}=\frac{1}{2,6^4}>02,6^\{-4\}=\backslash frac\{1\}\{2,6^4\}\; >\; 0$

в) ${\left(-7,1\right)}^{-6}=\frac{1}{{\left(-7,1\right)}^6}=\frac{1}{7,1^6}>0$

г) ${\left(-3,9\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-3,9\right)}^3}=-\frac{1}{3,9^3}<0$

д) ${\left(-\frac{5}{6}\right)}^{-5}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5}=-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5}<0$

е) ${\left(2\frac{3}{4}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle 2\frac{3}{4}}\right)}^2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{11}{4}}\right)}^2}={\left(\frac{4}{11}\right)}^2>0$

Чтобы сравнить значение степени с нулём, нужно определить знак этого значения. Знак степени $a^n$ зависит от знака основания $a$ и чётности/нечётности показателя $n$.

• Если основание $a > 0$, то $a^n > 0$ при любом показателе $n$.
• Если основание $a < 0$:
  • $a^n > 0$, если показатель $n$ — чётное целое число.
  • $a^n < 0$, если показатель $n$ — нечётное целое число.

Свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (при $a \neq 0$) не меняет знак результата, так как знак дроби $\frac{1}{a^n}$ совпадает со знаком знаменателя $a^n$.

Основание степени $9^{-5}$ равно 9, что является положительным числом ($9 > 0$). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $9^{-5} > 0$.
Проверка: $9^{-5} = \frac{1}{9^5}$. Так как $9^5 > 0$, то и вся дробь $\frac{1}{9^5} > 0$.
Ответ: $9^{-5} > 0$.

Основание степени $2,6^{-4}$ равно 2,6, что является положительным числом ($2,6 > 0$). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $2,6^{-4} > 0$.
Проверка: $2,6^{-4} = \frac{1}{2,6^4}$. Так как $2,6^4 > 0$, то и вся дробь $\frac{1}{2,6^4} > 0$.
Ответ: $2,6^{-4} > 0$.

Рассмотрим степень $(-7,1)^{-6}$. Основание степени равно -7,1 (отрицательное число). Показатель степени -6. Чтобы определить знак, посмотрим на степень без учёта знака "минус" в показателе, то есть на $(-7,1)^6$. Так как отрицательное число возводится в чётную степень (6 — чётное число), результат будет положительным. $(-7,1)^6 > 0$.
Так как $(-7,1)^{-6} = \frac{1}{(-7,1)^6}$ и знаменатель положителен, то и вся дробь положительна.
Ответ: $(-7,1)^{-6} > 0$.

Рассмотрим степень $(-3,9)^{-3}$. Основание степени равно -3,9 (отрицательное число). Показатель степени -3. Чтобы определить знак, посмотрим на степень без учёта знака "минус" в показателе, то есть на $(-3,9)^3$. Так как отрицательное число возводится в нечётную степень (3 — нечётное число), результат будет отрицательным. $(-3,9)^3 < 0$.
Так как $(-3,9)^{-3} = \frac{1}{(-3,9)^3}$ и знаменатель отрицателен, то и вся дробь отрицательна.
Ответ: $(-3,9)^{-3} < 0$.

Рассмотрим степень $(-\frac{5}{6})^{-5}$. Основание степени равно $-\frac{5}{6}$ (отрицательное число). Показатель степени -5. Чтобы определить знак, посмотрим на степень $(-\frac{5}{6})^5$. Так как отрицательное число возводится в нечётную степень (5 — нечётное число), результат будет отрицательным.
Можно также использовать свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(-\frac{5}{6})^{-5} = (-\frac{6}{5})^5$. Отрицательное основание в нечётной степени даёт отрицательный результат.
Ответ: $(-\frac{5}{6})^{-5} < 0$.

Рассмотрим степень $(2\frac{3}{4})^{-2}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$. Выражение примет вид $(\frac{11}{4})^{-2}$. Основание степени равно $\frac{11}{4}$ (положительное число). Любая степень положительного числа есть число положительное. Следовательно, $(\frac{11}{4})^{-2} > 0$.
Проверка: $(\frac{11}{4})^{-2} = (\frac{4}{11})^2$. Квадрат любого ненулевого числа — число положительное.
Ответ: $(2\frac{3}{4})^{-2} > 0$.

1180. Верно ли, что:

а) если a > 0 и n — целое число, то aⁿ > 0;

б) если a ‹ 0 и n — чётное отрицательное число, то aⁿ > 0;

в) если a ‹ 0 и n — нечётное отрицательное число, то aⁿ ‹ 0?

a) если а>0, n∈Z, то $a^n>0$ - верно

б) если a<0, n - четное отрицательное число, $a^n>0$ - верно

в) если a<0, n - нечётное отрицательное число, то $a^n<0$ - верно

а) если $a > 0$ и $n$ — целое число, то $a^n > 0$

Для проверки этого утверждения рассмотрим все возможные значения целого числа $n$.

1. Если $n$ — положительное целое число (натуральное), то $a^n$ представляет собой произведение $n$ положительных чисел $a$. Произведение положительных чисел всегда положительно, следовательно, $a^n > 0$.

2. Если $n = 0$, то по определению степени с нулевым показателем $a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$). Так как по условию $a > 0$, это условие выполняется. Поскольку $1 > 0$, то и $a^0 > 0$.

3. Если $n$ — отрицательное целое число, то его можно представить как $n = -m$, где $m$ — положительное целое число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Поскольку $a > 0$ и $m$ — положительное целое число, из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m > 0$. Частное от деления положительного числа (1) на другое положительное число ($a^m$) также является положительным числом. Таким образом, $a^n > 0$.

Так как утверждение верно для всех целых $n$ (положительных, отрицательных и нуля), оно является верным.

Ответ: Да, верно.

б) если $a < 0$ и $n$ — чётное отрицательное число, то $a^n > 0$

По условию $a < 0$. Число $n$ является чётным отрицательным, следовательно, его можно представить в виде $n = -2k$, где $k$ — натуральное число (например, $n = -2, -4, -6, \dots$).

Рассмотрим степень $a^n$:

$a^n = a^{-2k} = \frac{1}{a^{2k}}$

Проанализируем знаменатель дроби, $a^{2k}$. Его можно представить как $(a^2)^k$.

Поскольку $a < 0$, то $a^2$ (произведение двух одинаковых отрицательных чисел) будет положительным числом: $a^2 > 0$.

Тогда $a^{2k} = (a^2)^k$ — это положительное число ($a^2$), возведенное в натуральную степень $k$. Как мы установили в пункте а), результат такой операции всегда положителен. Значит, $a^{2k} > 0$.

Таким образом, $a^n = \frac{1}{a^{2k}}$ — это частное от деления положительного числа 1 на положительное число $a^{2k}$, что всегда дает в результате положительное число. Следовательно, $a^n > 0$.

Утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.

в) если $a < 0$ и $n$ — нечётное отрицательное число, то $a^n < 0$

По условию $a < 0$. Число $n$ является нечётным отрицательным, следовательно, его можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — нечётное натуральное число (например, $m = 1, 3, 5, \dots$).

Рассмотрим степень $a^n$:

$a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$

Проанализируем знаменатель дроби, $a^m$.

Поскольку $a < 0$, а $m$ — нечётное натуральное число, то $a^m$ (произведение нечётного количества отрицательных множителей $a$) будет отрицательным числом. Например, $a^1 = a < 0$; $a^3 = a \cdot a \cdot a < 0$. В общем случае, $a^m < 0$.

Таким образом, $a^n = \frac{1}{a^m}$ — это частное от деления положительного числа 1 на отрицательное число $a^m$, что всегда дает в результате отрицательное число. Следовательно, $a^n < 0$.

Утверждение является верным.

Ответ: Да, верно.

1181. Найдите значение выражения хᵖ, если:

a) x=-4, p=-2

$(-7{)}^{-2}=\frac{1}{(-7{)}^2}=\frac{1}{49}$

б) x=8, p=-1

$8^{-1}=\frac{1}{8}$

в) x=2, p=-6

$2^{-6}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$

г) x=-9, p=0

$(-9{)}^0=1$

а) Для нахождения значения выражения $x^p$ подставим заданные значения $x = -7$ и $p = -2$.

Получаем выражение: $(-7)^{-2}$.

По определению степени с целым отрицательным показателем, для любого числа $a \neq 0$ и целого положительного $n$ справедливо равенство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим это правило:

$(-7)^{-2} = \frac{1}{(-7)^2}$

Теперь вычислим значение знаменателя: $(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$.

Таким образом, искомое значение выражения равно $\frac{1}{49}$.

Ответ: $\frac{1}{49}$

б) Подставим в выражение $x^p$ значения $x = 8$ и $p = -1$.

Получаем выражение: $8^{-1}$.

Используя правило для степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$8^{-1} = \frac{1}{8^1} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) Подставим в выражение $x^p$ значения $x = 2$ и $p = -6$.

Получаем выражение: $2^{-6}$.

По определению степени с отрицательным показателем:

$2^{-6} = \frac{1}{2^6}$

Вычислим значение знаменателя:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.

Следовательно, значение выражения равно $\frac{1}{64}$.

Ответ: $\frac{1}{64}$

г) Подставим в выражение $x^p$ значения $x = -9$ и $p = 0$.

Получаем выражение: $(-9)^0$.

По определению, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

Так как $x = -9$ не равно нулю, то:

$(-9)^0 = 1$.

Ответ: $1$

1182. Какое значение принимает выражение –хᵖ, если:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x=-1, p=-2 \\ -{\left(-1\right)}^{-2}=-\frac{1}{{\left(-1\right)}^2}=-\frac{1}{1}=-1 \\ \mathbf{\text{б) }}x=\mathrm{0,5}; p=-2 \\ -0,5^{-2}=-\frac{1}{0,5^2}=-\frac{1}{\mathrm{0,25}}=-\frac{100}{25}=-4 \\ \mathbf{\text{в) }}x=2, p=-1 \\ -2^{-1}=-\frac{1}{2} \\ \mathbf{\text{г) }}x=\mathrm{0,5}, p=-5 \\ -0,5^{-5}=-\frac{1}{0,5^5}=-\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^5}=-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{32}}}=-32 \end{gathered}$$

а) Подставим значения $x = -1$ и $p = -2$ в выражение $-x^p$. Следует помнить, что по порядку действий сначала выполняется возведение в степень, а затем унарный минус (операция отрицания). Таким образом, мы вычисляем $-(x^p)$. Выражение принимает вид: $-(-1)^{-2}$. Сначала вычислим $(-1)^{-2}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$. Теперь применим унарный минус к результату: $-(-1)^{-2} = -(1) = -1$. Ответ: -1

б) Подставим значения $x = 0,5$ и $p = -2$ в выражение $-x^p$. Выражение принимает вид: $-(0,5)^{-2}$. Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$: $-(0,5)^{-2} = -(\frac{1}{2})^{-2}$. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $-(\frac{1}{2})^{-2} = -(\frac{2}{1})^2 = -2^2 = -4$. Ответ: -4

в) Подставим значения $x = 2$ и $p = -1$ в выражение $-x^p$. Выражение принимает вид: $-(2)^{-1}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $-(2)^{-1} = -\frac{1}{2^1} = -\frac{1}{2}$. В виде десятичной дроби это $-0,5$. Ответ: -0,5

г) Подставим значения $x = 0,5$ и $p = -5$ в выражение $-x^p$. Выражение принимает вид: $-(0,5)^{-5}$. Представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$: $-(0,5)^{-5} = -(\frac{1}{2})^{-5}$. Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $-(\frac{1}{2})^{-5} = -(\frac{2}{1})^5 = -2^5$. Вычислим $2^5$: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Следовательно, значение выражения равно $-32$. Ответ: -32

1183. Найдите значения выражений xⁿ и x⁻ⁿ, если:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}x=\frac{1}{2}, n=2 \\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}; {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x=-\frac{1}{3}, n=3 \\ {\left(-\frac{1}{3}\right)}^3=-\frac{1}{27}; {\left(-\frac{1}{3}\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3}=\frac{1}{-{\displaystyle \frac{1}{27}}}=-27 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}x=\frac{2}{3}, n=-2 \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{9}}}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4} \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-(-2)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}x=-1,5, n=3 \\ {\left(-1,5\right)}^3=-3,375 \\ {\left(-1,5\right)}^{-3}=\frac{1}{{\left(-1,5\right)}^3}=\frac{1}{-3,375}=-\frac{1000}{3375}=-\frac{8}{27} \end{gathered}$$

а) При $x = \frac{1}{2}$ и $n = 2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$:
$x^n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: $x^n = \frac{1}{4}$, $x^{-n} = 4$.

б) При $x = -\frac{1}{2}$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$:
$x^n = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (-\frac{1}{2})^{-3} = (-\frac{2}{1})^3 = (-2)^3 = -8$.
Ответ: $x^n = -\frac{1}{8}$, $x^{-n} = -8$.

в) При $x = \frac{2}{3}$ и $n = -2$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала вычислим $x^n$. Подставляем $n = -2$:
$x^n = (\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Теперь вычислим $x^{-n}$. Так как $n = -2$, то $-n = -(-2) = 2$.
$x^{-n} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $x^n = \frac{9}{4}$, $x^{-n} = \frac{4}{9}$.

г) При $x = -1,5$ и $n = 3$ найдем значения выражений $x^n$ и $x^{-n}$.
Сначала представим десятичную дробь $x = -1,5$ в виде обыкновенной: $x = -1,5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$.
Вычислим $x^n$:
$x^n = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{3^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$.
Вычислим $x^{-n}$:
$x^{-n} = (-\frac{3}{2})^{-3} = (-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $x^n = -\frac{27}{8}$, $x^{-n} = -\frac{8}{27}$.

1184. Найдите значение выражения:

a) $8·4^{-3}=8·\frac{1}{4^3}=8·\frac{1}{64}=\frac{1}{8}$

б) $-2·10^{-5}=-2·\frac{1}{10^5}=-\frac{2}{100000}=-0,00002-2\backslash cdot10^\{-5\}=-2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{10^5\}=-\backslash frac\{2\}\{100000\}=-0,00002$

в) $18·{\left(-9\right)}^{-1}=18·\left(-\frac{1}{9}\right)=-2$

г) $10·{\left(-\frac{1}{5}\right)}^{-1}=10·\left(-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right)=-10·5=-50$

д) $3^{-2}+4^{-1}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{4}{36}+\frac{9}{36}=\frac{13}{36}3^\{-2\}+4^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{3^2\}+\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{1\}\{9\}+\backslash frac\{1\}\{4\}=\backslash frac\{4\}\{36\}+\backslash frac\{9\}\{36\}=\backslash frac\{13\}\{36\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{2}^{-3}-{\left(-2\right)}^{-4}=\frac{1}{2^3}-\left(\frac{1}{{\left(-2\right)}^4}\right)=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}= \\ =\frac{2}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}0,5^{-2}+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=\frac{1}{0,5^2}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{1}{0,25}+3= \\ =\frac{100}{25}+3=4+3=7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}0,3^0+0,1^{-4}=1+\frac{1}{0,1^4}=1+\frac{1}{0,0001}= \\ =1+\frac{10000}{1}=10001 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $8 \cdot 4^{-3}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Сначала вычислим $4^{-3}$:
$4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим 8 на полученный результат:
$8 \cdot \frac{1}{64} = \frac{8}{64}$. Сократив дробь на 8, получим $\frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Для вычисления выражения $-2 \cdot 10^{-5}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Вычислим $10^{-5}$:
$10^{-5} = \frac{1}{10^5} = \frac{1}{100000} = 0,00001$.
Далее выполним умножение:
$-2 \cdot 0,00001 = -0,00002$.
Ответ: $-0,00002$.

в) Для вычисления выражения $18 \cdot (-9)^{-1}$ используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Вычислим $(-9)^{-1}$:
$(-9)^{-1} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$18 \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{18}{9} = -2$.
Ответ: $-2$.

г) Для вычисления выражения $10 \cdot (-\frac{1}{5})^{-1}$ используем свойство для дроби с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Вычислим $(-\frac{1}{5})^{-1}$:
$(-\frac{1}{5})^{-1} = (-\frac{5}{1})^1 = -5$.
Теперь выполним умножение:
$10 \cdot (-5) = -50$.
Ответ: $-50$.

д) Для вычисления выражения $3^{-2} + 4^{-1}$ сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим полученные дроби. Общий знаменатель для 9 и 4 равен 36.
$\frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{36} + \frac{1 \cdot 9}{36} = \frac{4+9}{36} = \frac{13}{36}$.
Ответ: $\frac{13}{36}$.

е) Для вычисления выражения $2^{-3} - (-2)^{-4}$ вычислим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4}$. Так как показатель степени (-4) четный, результат возведения в степень отрицательного основания будет положительным: $(-2)^4 = 16$. Таким образом, $(-2)^{-4} = \frac{1}{16}$.
Теперь выполним вычитание. Общий знаменатель для 8 и 16 равен 16.
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

ж) Для вычисления выражения $0,5^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$ сначала представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Выражение примет вид: $(\frac{1}{2})^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$.
Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ для каждого слагаемого.
$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$.
Сложим полученные значения:
$4 + 3 = 7$.
Ответ: $7$.

з) Для вычисления выражения $0,3^0 + 0,1^{-4}$ используем следующие свойства степеней:
1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
2. Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Вычислим первое слагаемое: $0,3^0 = 1$.
Для второго слагаемого представим $0,1$ в виде дроби $\frac{1}{10}$:
$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.
Сложим полученные значения:
$1 + 10000 = 10001$.
Ответ: $10001$.

1185. Вычислите:

a) $6·12^{-1}=6·\frac{1}{12}=\frac{1}{2}6\; \backslash cdot\; 12^\{-1\}=6\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{12\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$

б) $-4·8^{-2}=-4·\frac{1}{8^2}=-4·\frac{1}{64}=-\frac{1}{16}-4\; \backslash cdot\; 8^\{-2\}=-4\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{8^2\}=-4\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{64\}=-\backslash frac\{1\}\{16\}$

в) $6^{-1}-3^{-2}=\frac{1}{6}-\frac{1}{3^2}=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3}{18}-\frac{2}{18}=\frac{1}{18}6^\{-1\}\; -\; 3^\{-2\}=\backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}=\backslash frac\{1\}\{6\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{9\}=\backslash frac\{3\}\{18\}\; -\; \backslash frac\{2\}\{18\}=\backslash frac\{1\}\{18\}$

г) $1,3^0-1,3^{-1}=1-\frac{1}{1,3}=1-\frac{10}{13}=\frac{3}{13}1,3^0\; -\; 1,3^\{-1\}=1\; -\; \backslash frac\{1\}\{1,3\}=1\; -\; \backslash frac\{10\}\{13\}=\backslash frac\{3\}\{13\}$

д) $12-{\left(\frac{1}{6}\right)}^{-1}=12-\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{6}}}=12-6=6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}25+0,1^{-2}=25+\frac{1}{0,1^2}=25+\frac{1}{0,01}= \\ =25+\frac{100}{1}=25+100=125 \end{gathered}$$

а) Для вычисления выражения $6 \cdot 12^{-1}$ используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Таким образом, $12^{-1} = \frac{1}{12}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$6 \cdot 12^{-1} = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: $0,5$.

б) Для вычисления выражения $-4 \cdot 8^{-2}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Сначала вычислим $8^{-2}$: $8^{-2} = \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим полученное значение на $-4$:
$-4 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}$.
Ответ: $-\frac{1}{16}$.

в) В выражении $6^{-1} - 3^{-2}$ применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ к каждому слагаемому.
$6^{-1} = \frac{1}{6}$.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{1}{6} - \frac{1}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 - это 18.
$\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3-2}{18} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$.

г) В выражении $1,3^0 - 1,3^{-1}$ используем два свойства степеней.
Свойство нулевой степени: любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. $a^0 = 1$.
$1,3^0 = 1$.
Свойство отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$1,3^{-1} = \frac{1}{1,3}$. Представим $1,3$ в виде обыкновенной дроби: $1,3 = \frac{13}{10}$.
Тогда $\frac{1}{1,3} = \frac{1}{\frac{13}{10}} = \frac{10}{13}$.
Теперь выполним вычитание:
$1 - \frac{10}{13} = \frac{13}{13} - \frac{10}{13} = \frac{3}{13}$.
Ответ: $\frac{3}{13}$.

д) Для вычисления выражения $12 - (\frac{1}{6})^{-1}$ используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{6})^{-1} = (\frac{6}{1})^1 = 6$.
Теперь подставим это значение в выражение:
$12 - 6 = 6$.
Ответ: $6$.

е) В выражении $25 + 0,1^{-2}$ сначала вычислим значение $0,1^{-2}$.
Представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной: $0,1 = \frac{1}{10}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$0,1^{-2} = (\frac{1}{10})^{-2} = (\frac{10}{1})^2 = 10^2 = 100$.
Теперь выполним сложение:
$25 + 100 = 125$.
Ответ: $125$.

1186. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем:

a) $3x^{-5}=\frac{3}{x^5}3x^\{-5\}=\backslash frac\{3\}\{x^\{5\}\}$

б) $x^{-4}y=\frac{1}{x^4}·y=\frac{y}{x^4}$

в) $5a{b}^{-7}=5a·\frac{1}{b^7}=\frac{5a}{b^7}5ab^\{-7\}=5a\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{b^\{7\}\}=\backslash frac\{5a\}\{b^\{7\}\}$

г) $5{\left(ab\right)}^{-7}=\frac{5}{{\left(ab\right)}^7}=\frac{5}{a^7{b}^7}$

д) $x^{-1}{c}^{-3}=\frac{1}{x}·\frac{1}{c^3}=\frac{1}{x{c}^3}x^\{-1\}c^\{-3\}=\backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{c^\{3\}\}=\backslash frac\{1\}\{xc^\{3\}\}$

е) $-9y{z}^{-8}=-9y·\frac{1}{z^8}=-\frac{9y}{z^8}-9yz^\{-8\}=-9y\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{z^\{8\}\}=-\backslash frac\{9y\}\{z^\{8\}\}$

ж) $2{\left(x+y\right)}^{-4}=\frac{2}{{\left(x+y\right)}^4}$

з) $10x^{-1}{\left(x-y\right)}^{-3}=10·\frac{1}{x}·\frac{1}{{\left(x-y\right)}^3}=\frac{10}{x{\left(x-y\right)}^3}$

Для преобразования выражений используется основное свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \neq 0$. Это означает, что множитель с отрицательной степенью в числителе можно перенести в знаменатель, изменив знак показателя степени на положительный, и наоборот.

а) В выражении $3x^{-5}$ множитель 3 не имеет отрицательной степени и остается в числителе. Множитель $x^{-5}$ переносится в знаменатель как $x^5$.
$3x^{-5} = 3 \cdot x^{-5} = 3 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{3}{x^5}$.
Ответ: $\frac{3}{x^5}$

б) В выражении $x^{-4}y$ множитель $y$ остается в числителе, а $x^{-4}$ переносится в знаменатель как $x^4$.
$x^{-4}y = \frac{1}{x^4} \cdot y = \frac{y}{x^4}$.
Ответ: $\frac{y}{x^4}$

в) В выражении $5ab^{-7}$ множители $5$ и $a$ остаются в числителе. Множитель $b^{-7}$ переносится в знаменатель как $b^7$.
$5ab^{-7} = 5a \cdot \frac{1}{b^7} = \frac{5a}{b^7}$.
Ответ: $\frac{5a}{b^7}$

г) В выражении $5(ab)^{-7}$ в отрицательную степень возведено все произведение $(ab)$. Множитель 5 остается в числителе, а $(ab)^{-7}$ переносится в знаменатель как $(ab)^7$.
$5(ab)^{-7} = 5 \cdot \frac{1}{(ab)^7} = \frac{5}{(ab)^7} = \frac{5}{a^7b^7}$.
Ответ: $\frac{5}{a^7b^7}$

д) В выражении $x^{-1}c^{-3}$ оба множителя имеют отрицательную степень. Оба переносятся в знаменатель с положительными степенями.
$x^{-1}c^{-3} = \frac{1}{x^1} \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{1}{xc^3}$.
Ответ: $\frac{1}{xc^3}$

е) В выражении $-9yz^{-8}$ множители $-9$ и $y$ остаются в числителе. Множитель $z^{-8}$ переносится в знаменатель как $z^8$.
$-9yz^{-8} = -9y \cdot \frac{1}{z^8} = \frac{-9y}{z^8} = -\frac{9y}{z^8}$.
Ответ: $-\frac{9y}{z^8}$

ж) В выражении $2(x + y)^{-4}$ в отрицательную степень возведена вся скобка $(x+y)$. Множитель 2 остается в числителе.
$2(x+y)^{-4} = 2 \cdot \frac{1}{(x+y)^4} = \frac{2}{(x+y)^4}$.
Ответ: $\frac{2}{(x+y)^4}$

з) В выражении $10x^{-1}(x-y)^{-3}$ множитель 10 остается в числителе. Множители $x^{-1}$ и $(x-y)^{-3}$ переносятся в знаменатель с положительными степенями.
$10x^{-1}(x-y)^{-3} = 10 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{(x-y)^3} = \frac{10}{x(x-y)^3}$.
Ответ: $\frac{10}{x(x-y)^3}$