Страница 271 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1221. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

a) 1,2·10⁹; 9

б) 3,6·10³; 3

в) 2,7·10⁻³; -3

г) 6,3·10⁻¹; -1

д) 4,42·10⁵; 5

е) 9,28·10⁻⁴; -4

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ (показатель степени числа 10) называется порядком числа. Таким образом, чтобы определить порядок числа, записанного в стандартном виде, необходимо найти показатель степени $n$.

а) В числе $1,2 \cdot 10^9$ показатель степени равен 9.

Ответ: 9

б) В числе $3,6 \cdot 10^3$ показатель степени равен 3.

Ответ: 3

в) В числе $2,7 \cdot 10^{-3}$ показатель степени равен -3.

Ответ: -3

г) В числе $6,3 \cdot 10^{-1}$ показатель степени равен -1.

Ответ: -1

д) В числе $4,42 \cdot 10^5$ показатель степени равен 5.

Ответ: 5

е) В числе $9,28 \cdot 10^{-4}$ показатель степени равен -4.

Ответ: -4

1222. Запишите в стандартном виде число:

а) 52 000 000;

б) 2 180 000;

в) 675 000 000;

г) 40,44;

д) 0,00281;

е) 0,0000035.

a) $52 000 000=5,2·{10}^7$

б) $2 180 000=2,18·{10}^6$

в) $675 000 000=6,75·{10}^8$

г) $40,44=4,044·{10}^1$

д) $0,00281=2,81·{10}^{-3}$

e) $0,0000035=3,5·{10}^{-6}$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а число $n$ — порядком числа.

а) Чтобы записать число 52 000 000 в стандартном виде, нужно представить его в виде произведения числа $a$ (где $1 \le a < 10$) и степени 10. Для этого переместим запятую так, чтобы перед ней осталась только одна значащая цифра. В числе 52 000 000 это цифра 5. Получаем мантиссу 5,2. Чтобы из числа 5,2 снова получить 52 000 000, нужно переместить запятую на 7 знаков вправо, что равносильно умножению на $10^7$.
$52 000 000 = 5,2 \cdot 10 000 000 = 5,2 \cdot 10^7$.
Ответ: $5,2 \cdot 10^7$.

б) Для числа 2 180 000 мантисса $a$ будет равна 2,18. Чтобы из 2,18 получить исходное число, нужно перенести запятую на 6 знаков вправо. Это соответствует умножению на $10^6$.
$2 180 000 = 2,18 \cdot 1 000 000 = 2,18 \cdot 10^6$.
Ответ: $2,18 \cdot 10^6$.

в) Для числа 675 000 000 мантисса $a$ будет равна 6,75. Чтобы из 6,75 получить исходное число, нужно перенести запятую на 8 знаков вправо. Это соответствует умножению на $10^8$.
$675 000 000 = 6,75 \cdot 100 000 000 = 6,75 \cdot 10^8$.
Ответ: $6,75 \cdot 10^8$.

г) Для числа 40,44 мантисса $a$ должна быть в пределах от 1 до 10. Перенесем запятую на один знак влево, чтобы получить 4,044. Чтобы из 4,044 получить 40,44, нужно умножить его на 10, то есть на $10^1$.
$40,44 = 4,044 \cdot 10 = 4,044 \cdot 10^1$.
Ответ: $4,044 \cdot 10^1$.

д) Для числа 0,00281 мантисса $a$ будет равна 2,81. Чтобы из 2,81 получить исходное число, нужно перенести запятую на 3 знака влево. Это соответствует делению на 1000, или умножению на $10^{-3}$.
$0,00281 = 2,81 : 1000 = 2,81 \cdot 10^{-3}$.
Ответ: $2,81 \cdot 10^{-3}$.

е) Для числа 0,0000035 мантисса $a$ будет равна 3,5. Чтобы из 3,5 получить исходное число, нужно перенести запятую на 6 знаков влево. Это соответствует делению на 1 000 000, или умножению на $10^{-6}$.
$0,0000035 = 3,5 : 1 000 000 = 3,5 \cdot 10^{-6}$.
Ответ: $3,5 \cdot 10^{-6}$.

1223. Запишите в стандартном виде:

a) $45·10^3=4,5·10·10^3=4,5·10^{4}45\; \backslash cdot\; 10^3=4,5\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; 10^3=4,5\; \backslash cdot\; 10^4$

б) $117·10^5=1,17·10^2·10^5=1,17·10^7$

в) $0,74·10^6=7,4·10^{-1}·10^6=7,4·10^{5}0,74\; \backslash cdot\; 10^6=7,4\; \backslash cdot\; 10^\{-1\}\; \backslash cdot\; 10^6=7,4\; \backslash cdot\; 10^5$

г) $0,06·10^5=6·10^{-2}·10^5=6·10^{3}0,06\; \backslash cdot\; 10^5=6\; \backslash cdot\; 10^\{-2\}\; \backslash cdot\; 10^5=6\; \backslash cdot\; 10^3$

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Для решения задачи необходимо преобразовать каждое выражение к этому виду.

а) $45 \cdot 10^3$

Первый множитель $45$ не находится в интервале $[1; 10)$. Чтобы привести его к требуемому виду, мы должны сдвинуть запятую на один знак влево. Это эквивалентно делению на $10$, поэтому, чтобы сохранить значение, мы должны умножить на $10$.

$45 = 4,5 \cdot 10^1$.

Теперь подставим это представление в исходное выражение:

$45 \cdot 10^3 = (4,5 \cdot 10^1) \cdot 10^3$.

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, сложим показатели:

$4,5 \cdot 10^{1+3} = 4,5 \cdot 10^4$.

Ответ: $4,5 \cdot 10^4$.

б) $117 \cdot 10^5$

Первый множитель $117$ больше $10$. Сдвинем запятую на два знака влево, чтобы получить число в интервале $[1; 10)$.

$117 = 1,17 \cdot 10^2$.

Подставим в исходное выражение:

$117 \cdot 10^5 = (1,17 \cdot 10^2) \cdot 10^5$.

Сложим показатели степеней:

$1,17 \cdot 10^{2+5} = 1,17 \cdot 10^7$.

Ответ: $1,17 \cdot 10^7$.

в) $0,74 \cdot 10^6$

Первый множитель $0,74$ меньше $1$. Чтобы получить число в интервале $[1; 10)$, сдвинем запятую на один знак вправо. Это эквивалентно умножению на $10$, поэтому для сохранения значения мы должны разделить на $10$, что равносильно умножению на $10^{-1}$.

$0,74 = 7,4 \cdot 10^{-1}$.

Подставим в исходное выражение:

$0,74 \cdot 10^6 = (7,4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^6$.

Сложим показатели степеней:

$7,4 \cdot 10^{-1+6} = 7,4 \cdot 10^5$.

Ответ: $7,4 \cdot 10^5$.

г) $0,06 \cdot 10^5$

Первый множитель $0,06$ меньше $1$. Сдвинем запятую на два знака вправо, чтобы получить число в интервале $[1; 10)$.

$0,06 = 6 \cdot 10^{-2}$.

Подставим в исходное выражение:

$0,06 \cdot 10^5 = (6 \cdot 10^{-2}) \cdot 10^5$.

Сложим показатели степеней:

$6 \cdot 10^{-2+5} = 6 \cdot 10^3$.

Ответ: $6 \cdot 10^3$.