Страница 275 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1240. Замените a каким-либо натуральным числом так, чтобы не имела решений система неравенств:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x>\mathrm{40,8}\\ 5x-a<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{13,6}\\ 5x<a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>\mathrm{13,6}\\ x<\frac{a}{5}\end{array}\right.$

Ответ: 10

б) $\left\{\begin{array}{l}1-6x<19\\ 4x-a<6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-6x<18\\ 4x<6+a\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>-3\\ x<\frac{6+a}{4}\end{array}\right.$

Ответ: нет такого натурального числа a

а)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 3x > 40,8 \\ 5x - a < 0 \end{cases} $$

Для того чтобы найти значение параметра $a$, при котором система не имеет решений, решим каждое неравенство относительно переменной $x$.

Решение первого неравенства:

$3x > 40,8$

$x > \frac{40,8}{3}$

$x > 13,6$

Решение второго неравенства:

$5x - a < 0$

$5x < a$

$x < \frac{a}{5}$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} x > 13,6 \\ x < \frac{a}{5} \end{cases} $$

Решением этой системы является пересечение двух интервалов: $(13,6; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{a}{5})$. Система не будет иметь решений, если эти интервалы не пересекаются. Это произойдет, если правая граница первого интервала ($13,6$) будет больше или равна левой границе второго интервала ($\frac{a}{5}$).

Запишем это в виде неравенства:

$\frac{a}{5} \le 13,6$

Чтобы найти $a$, умножим обе части неравенства на 5:

$a \le 13,6 \cdot 5$

$a \le 68$

По условию, $a$ — натуральное число. Это значит, что $a$ может быть любым целым положительным числом, не превосходящим 68.

Например, можно взять $a = 68$. Тогда система будет $x > 13,6$ и $x < \frac{68}{5}$, то есть $x < 13,6$. Решений нет. Или можно взять $a = 1$. Тогда система будет $x > 13,6$ и $x < \frac{1}{5}$, то есть $x < 0,2$. Решений также нет.

Ответ: можно взять любое натуральное число $a$ такое, что $a \le 68$. Например, $a=10$.

б)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 1 - 6x < 19 \\ 4x - a < 6 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство относительно $x$.

Решение первого неравенства:

$1 - 6x < 19$

$-6x < 19 - 1$

$-6x < 18$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{18}{-6}$

$x > -3$

Решение второго неравенства:

$4x - a < 6$

$4x < 6 + a$

$x < \frac{6 + a}{4}$

Система неравенств принимает вид:

$$ \begin{cases} x > -3 \\ x < \frac{6 + a}{4} \end{cases} $$

Система не будет иметь решений, если интервалы $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{6+a}{4})$ не пересекаются. Это условие выполняется, если верхняя граница для $x$ будет меньше или равна нижней границе:

$\frac{6 + a}{4} \le -3$

Решим это неравенство относительно $a$:

$6 + a \le -3 \cdot 4$

$6 + a \le -12$

$a \le -12 - 6$

$a \le -18$

По условию задачи, $a$ должно быть натуральным числом, то есть $a$ должно принадлежать множеству $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Это означает, что $a \ge 1$.

Мы получили два противоречивых условия для $a$: $a \le -18$ и $a \ge 1$. Не существует ни одного числа, которое бы удовлетворяло обоим этим условиям одновременно. Следовательно, невозможно подобрать такое натуральное число $a$, при котором данная система не имела бы решений. Для любого натурального $a$ неравенство $a > -18$ будет верным, а значит, система всегда будет иметь решения.

Ответ: такого натурального числа $a$ не существует.

1. Какую запись числа называют его стандартным видом?

Стандартным видом числа a называют его запись в виде $a·{10}^n,$ где 1≤а<10 и n - целое число. Число n называется порядком числа a.

Стандартным видом числа называется его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$. Эта форма записи подчиняется двум основным правилам:

1. Мантисса (число $a$) должна удовлетворять неравенству $1 \le a < 10$. Это значит, что $a$ — это число, которое больше или равно единице, но строго меньше десяти. В его целой части должна быть только одна цифра, отличная от нуля.

2. Порядок (число $n$) должен быть целым числом (положительным, отрицательным или нулём).

Этот способ записи особенно полезен для очень больших и очень маленьких чисел, так как он позволяет сделать их запись более компактной и удобной для сравнения и выполнения арифметических операций.

Примеры приведения чисел к стандартному виду:

1. Большое число. Возьмем число $475 \, 000 \, 000$. Чтобы записать его в стандартном виде, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени десятки. Для этого мысленно ставим запятую после первой значащей цифры (4) и получаем $4.75$. Чтобы из $4.75$ получить исходное число $475 \, 000 \, 000$, нужно перенести запятую на 8 знаков вправо, что равносильно умножению на $10^8$.
Следовательно, $475 \, 000 \, 000 = 4.75 \cdot 10^8$.
Здесь мантисса $a = 4.75$ (условие $1 \le 4.75 < 10$ выполняется), а порядок $n = 8$ (целое число).

2. Маленькое число. Рассмотрим число $0.0000214$. Ставим запятую после первой значащей цифры (2), получаем $2.14$. Чтобы из $2.14$ получить исходное число $0.0000214$, нужно перенести запятую на 5 знаков влево, что равносильно умножению на $10^{-5}$.
Следовательно, $0.0000214 = 2.14 \cdot 10^{-5}$.
Здесь мантисса $a = 2.14$ (условие $1 \le 2.14 < 10$ выполняется), а порядок $n = -5$ (целое число).

3. Число в пределах от 1 до 10. Например, число $7.8$. Оно уже удовлетворяет условию для мантиссы. В этом случае порядок $n$ равен 0, так как $10^0 = 1$.
Следовательно, $7.8 = 7.8 \cdot 10^0$.

Ответ: Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

2. Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.

Пример 1. Представим в стандартном виде число а=4350000.

► В числе a поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой 6 цифр справа, мы уменьшили число a в $10^6$ раз. Поэтому а больше числа 4,35 в $10^6$ раз. Отсюда

$\alpha =4,35·10^6\alpha =4,35\; ·\; 10^6$.

Пример 2. Представим в стандартном виде число а=0,000508.

► В числе a переставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна отличная от нуля цифра. В результате получится 5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличили число a в $10^{4}10^4$ раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в $10^{4}10^4$ раз. Отсюда

$a=5,08:{10}^4=5,08·\frac{1}{{10}^4}=5,08·{10}^{-4}.$

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $a$ называется мантиссой, а число $n$ — порядком числа. Эта форма записи очень удобна для представления очень больших или очень маленьких чисел.

Чтобы представить число в стандартном виде, нужно выполнить два шага:

1. Представить число в виде десятичной дроби с одной ненулевой цифрой перед запятой. Это будет мантисса $a$.

2. Определить степень $n$, на которую нужно умножить мантиссу, чтобы получить исходное число. Это будет порядок числа.

Пример 1: Представление большого числа

Возьмем число 52 800 000 (пятьдесят два миллиона восемьсот тысяч).

1. Находим мантиссу. Исходное число можно представить как 52 800 000,0. Переместим запятую влево так, чтобы перед ней осталась только одна значащая цифра (цифра 5). Получим число 5,28. Это и есть мантисса $a$, так как $1 \le 5,28 < 10$.

2. Находим порядок. Посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую. Мы сдвинули ее на 7 позиций влево. Поскольку исходное число было большим (больше 10), порядок $n$ будет положительным. Значит, $n = 7$.

3. Записываем результат. Объединяем мантиссу и порядок в виде произведения.

Ответ: $52\;800\;000 = 5,28 \cdot 10^7$.

Пример 2: Представление маленького числа

Рассмотрим число 0,00000945.

1. Находим мантиссу. Переместим запятую вправо так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (цифры 9). Получим число 9,45. Это мантисса $a$, так как $1 \le 9,45 < 10$.

2. Находим порядок. Посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую. Мы сдвинули ее на 6 позиций вправо. Поскольку исходное число было маленьким (меньше 1), порядок $n$ будет отрицательным. Значит, $n = -6$.

3. Записываем результат. Собираем стандартный вид числа.

Ответ: $0,00000945 = 9,45 \cdot 10^{-6}$.