Страница 281 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1265. Выразите время в секундах и запишите полученное число в стандартном виде:

а) 1 ч;

б) 1 сутки;

в) 1 год;

г) 1 век.

а) 1ч=60мин=3600с=3,6*10³c

б) 1сутки=24ч=24*60мин=1440мин=

=1440*60с=86400с=8,64*10⁴с

в) 1 год=365,25суток=365,25*24ч=

=8766ч=8766*60мин=525960мин=

=525960*60с=31557600с=

=3,15576*10⁷c

г) 1 век=100лет=365,25*100 суток=

=36525суток=36525*24ч=876600ч=

=876600*60 мин=52596000 мин=

=52596000*60с=3155760000с=

=3,15576*10⁹с

а) 1 ч

Чтобы выразить 1 час в секундах, необходимо учесть, что в одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Произведем вычисление:

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 3600 \text{ с}$.

Теперь запишем полученное число в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Для числа 3600, мы перемещаем десятичный разделитель на 3 позиции влево, чтобы получить число в диапазоне от 1 до 10.

$3600 = 3,6 \times 1000 = 3,6 \times 10^3$.

Ответ: $3,6 \times 10^3$ с.

б) 1 сутки

В одних сутках 24 часа. Используя результат из предыдущего пункта (в 1 часе 3600 секунд), найдем количество секунд в сутках.

$1 \text{ сутки} = 24 \text{ ч} \times 3600 \text{ с/ч} = 86400 \text{ с}$.

Запишем число 86400 в стандартном виде. Перемещаем десятичный разделитель на 4 позиции влево.

$86400 = 8,64 \times 10000 = 8,64 \times 10^4$.

Ответ: $8,64 \times 10^4$ с.

в) 1 год

Для расчетов примем, что в году 365 суток (невисокосный год). Используя результат из пункта б) (в 1 сутках 86400 секунд), найдем количество секунд в году.

$1 \text{ год} = 365 \text{ суток} \times 86400 \text{ с/сутки} = 31\,536\,000 \text{ с}$.

Запишем число 31 536 000 в стандартном виде. Перемещаем десятичный разделитель на 7 позиций влево.

$31\,536\,000 = 3,1536 \times 10\,000\,000 = 3,1536 \times 10^7$.

Ответ: $3,1536 \times 10^7$ с.

г) 1 век

В одном веке 100 лет. Используя результат из пункта в) (в 1 году $31\,536\,000$ секунд), найдем количество секунд в веке.

$1 \text{ век} = 100 \text{ лет} \times 31\,536\,000 \text{ с/год} = 3\,153\,600\,000 \text{ с}$.

Запишем число 3 153 600 000 в стандартном виде. Перемещаем десятичный разделитель на 9 позиций влево.

$3\,153\,600\,000 = 3,1536 \times 1\,000\,000\,000 = 3,1536 \times 10^9$.

Ответ: $3,1536 \times 10^9$ с.

1266. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде:

a) $$\begin{gathered} \left(3,4·10^{15}\right)·\left(7·10^{-12}\right)=\left(3,4·7\right)·\left(10^{15}·10^{-12}\right)= \\ =23,8·10^3=2,38·10·10^3=2,38·10^4 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \left(8,1·10^{-23}\right)·\left(2·10^{21}\right)=\left(8,1·2\right)·\left(10^{-23}·10^{21}\right)=(8,1\; \backslash cdot\; 10^\{-23\})\; \backslash cdot\; (2\; \backslash cdot\; 10^\{21\})=(8,1\; \backslash cdot\; 2)\; \backslash cdot\; (10^\{-23\}\; \backslash cdot\; 10^\{21\})= \\ =16,2·10^{-2}=1,62·10·10^{-2}=1,62·10^{-1}=16,2\; \backslash cdot\; 10^\{-2\}=1,62\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; 10^\{-2\}=1,62\; \backslash cdot\; 10^\{-1\} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \left(9,6·10^{-12}\right):\left(3,2·10^{-15}\right)=\left(9,6:3,2\right)·\left(10^{-12}:10^{-15}\right)=(9,6\; \backslash cdot\; 10^\{-12\})\; :\; (3,2\; \backslash cdot\; 10^\{-15\})=(9,6\; :\; 3,2)\; \backslash cdot\; (10^\{-12\}\; :\; 10^\{-15\})= \\ =3·10^3=3\; \backslash cdot\; 10^3 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \left(4,08·10^{11}\right):\left(5,1·10^{-7}\right)=\left(4,08:5,1\right)·\left(10^{11}:10^{-7}\right)=(4,08\; \backslash cdot\; 10^\{11\})\; :\; (5,1\; \backslash cdot\; 10^\{-7\})=(4,08\; :\; 5,1)\; \backslash cdot\; (10^\{11\}\; :\; 10^\{-7\})= \\ =0,8·10^{18}=8·10^{-1}·10^{18}=8·10^{17}=0,8\; \backslash cdot\; 10^\{18\}=8\; \backslash cdot\; 10^\{-1\}\; \backslash cdot\; 10^\{18\}=8\; \backslash cdot\; 10^\{17\} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно степени десяти. Затем, если необходимо, привести полученный результат к стандартному виду.

$(3,4 \cdot 10^{15}) \cdot (7 \cdot 10^{-12}) = (3,4 \cdot 7) \cdot (10^{15} \cdot 10^{-12})$

Сначала перемножим мантиссы:

$3,4 \cdot 7 = 23,8$

Теперь перемножим степени десяти, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{15} \cdot 10^{-12} = 10^{15 + (-12)} = 10^{3}$

Объединим результаты:

$23,8 \cdot 10^3$

Полученное число не записано в стандартном виде, так как его мантисса $23,8$ больше 10. Приведем его к стандартному виду. Для этого представим мантиссу как $2,38 \cdot 10^1$:

$23,8 \cdot 10^3 = (2,38 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 2,38 \cdot 10^{1+3} = 2,38 \cdot 10^4$

Ответ: $2,38 \cdot 10^4$.

б) Выполним умножение аналогично предыдущему пункту.

$(8,1 \cdot 10^{-23}) \cdot (2 \cdot 10^{21}) = (8,1 \cdot 2) \cdot (10^{-23} \cdot 10^{21})$

Произведение мантисс:

$8,1 \cdot 2 = 16,2$

Произведение степеней десяти:

$10^{-23} \cdot 10^{21} = 10^{-23+21} = 10^{-2}$

Объединим результаты:

$16,2 \cdot 10^{-2}$

Приведем число к стандартному виду, так как мантисса $16,2 > 10$. Представим $16,2$ как $1,62 \cdot 10^1$:

$16,2 \cdot 10^{-2} = (1,62 \cdot 10^1) \cdot 10^{-2} = 1,62 \cdot 10^{1+(-2)} = 1,62 \cdot 10^{-1}$

Ответ: $1,62 \cdot 10^{-1}$.

в) Чтобы выполнить деление чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно степени десяти.

$(9,6 \cdot 10^{-12}) : (3,2 \cdot 10^{-15}) = \frac{9,6 \cdot 10^{-12}}{3,2 \cdot 10^{-15}} = (\frac{9,6}{3,2}) \cdot (\frac{10^{-12}}{10^{-15}})$

Сначала разделим мантиссы:

$9,6 : 3,2 = 3$

Теперь разделим степени десяти, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-12}}{10^{-15}} = 10^{-12 - (-15)} = 10^{-12+15} = 10^3$

Объединим результаты:

$3 \cdot 10^3$

Мантисса $3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 < 10$, поэтому результат уже представлен в стандартном виде.

Ответ: $3 \cdot 10^3$.

г) Выполним деление аналогично предыдущему пункту.

$(4,08 \cdot 10^{11}) : (5,1 \cdot 10^{-7}) = (\frac{4,08}{5,1}) \cdot (\frac{10^{11}}{10^{-7}})$

Частное мантисс:

$4,08 : 5,1 = 0,8$

Частное степеней десяти:

$\frac{10^{11}}{10^{-7}} = 10^{11 - (-7)} = 10^{11+7} = 10^{18}$

Объединим результаты:

$0,8 \cdot 10^{18}$

Приведем число к стандартному виду, так как мантисса $0,8 < 1$. Представим $0,8$ как $8 \cdot 10^{-1}$:

$0,8 \cdot 10^{18} = (8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{18} = 8 \cdot 10^{-1+18} = 8 \cdot 10^{17}$

Ответ: $8 \cdot 10^{17}$.

1267. Расстояние от Земли до звезды α Центавра равно 2,07 ∙ 10⁵ астрономическим единицам (астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, которое равно 1,495 ∙ 10⁸ км). Выразите это расстояние в километрах.

$$\begin{gathered} (2,07·{10}^5)·(1,495·{10}^8)\text{км}= \\ =(2,07·1,495)·({10}^5·{10}^8)\text{км}=3,09465·{10}^{13}\text{км} \end{gathered}$$

Ответ: $3,09465·{10}^{13}$км

Чтобы найти расстояние от Земли до звезды ? Центавра в километрах, нужно умножить данное расстояние в астрономических единицах на значение одной астрономической единицы в километрах.

Дано:
Расстояние до ? Центавра: $S_1 = 2.07 \cdot 10^5$ астрономических единиц (а.е.).
Значение 1 астрономической единицы: $1$ а.е. $= 1.495 \cdot 10^8$ км.

Найдем искомое расстояние $S_2$ в километрах, перемножив эти два значения:
$S_2 = S_1 \cdot (1$ а.е. в км$) = (2.07 \cdot 10^5) \cdot (1.495 \cdot 10^8)$

При умножении чисел в стандартном виде, мы отдельно перемножаем их мантиссы (числовые множители) и отдельно степени с основанием 10 (складывая их показатели):
$S_2 = (2.07 \cdot 1.495) \cdot (10^5 \cdot 10^8)$

Вычислим произведение мантисс:
$2.07 \cdot 1.495 = 3.09365$

Вычислим произведение степеней:
$10^5 \cdot 10^8 = 10^{5+8} = 10^{13}$

Объединим результаты:
$S_2 = 3.09365 \cdot 10^{13}$ км.

Ответ: $3.09365 \cdot 10^{13}$ км.

1268. В 1 ккал содержится 4,2 ∙ 10³ Дж. Сколько килокалорий в 1 Дж?

1 ккал=$4,2·{10}^3$Дж

$$\begin{gathered} 1 \text{Дж}=\frac{1}{4,2·10^3}=\frac{1}{4200}=4200^{-1}={\left(4,2·10^3\right)}^{-1}= \\ =\frac{1}{4,2}·10^{-3}=\frac{10}{42}·10^{-3}=\frac{5}{21}·10^{-3}= \\ =\frac{50·10^{-1}·10^{-3}}{21}=\frac{50}{21}·10^{-4}\text{ ккал }\approx \\ \approx 2,38·10^{-4}\text{ ккал } \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{50}{21}·10^{-4}\text{ ккал }\approx 2,38·10^{-4}\text{ ккал }$

По условию задачи нам дано соотношение, связывающее килокалории (ккал) и джоули (Дж):
$1 \text{ ккал} = 4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж}$
Это равенство показывает, сколько джоулей содержится в одной килокалории. Нам нужно найти обратную величину: сколько килокалорий содержится в одном джоуле. Для этого нам необходимо выразить $1 \text{ Дж}$ из данного уравнения.
Разделим обе части равенства на число $4,2 \cdot 10^3$:
$\frac{1 \text{ ккал}}{4,2 \cdot 10^3} = \frac{4,2 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{4,2 \cdot 10^3}$
После сокращения в правой части мы получим искомое выражение для $1$ джоуля:
$1 \text{ Дж} = \frac{1}{4,2 \cdot 10^3} \text{ ккал}$
Теперь необходимо вычислить значение этого выражения.
Сначала вычислим знаменатель:
$4,2 \cdot 10^3 = 4,2 \cdot 1000 = 4200$
Теперь подставим это значение обратно в дробь:
$1 \text{ Дж} = \frac{1}{4200} \text{ ккал}$
Выполним деление:
$\frac{1}{4200} \approx 0,000238095... \text{ ккал}$
В исходных данных число $4,2$ имеет две значащие цифры, поэтому результат целесообразно округлить до двух значащих цифр.
$0,000238095... \text{ ккал} \approx 0,00024 \text{ ккал}$
Для удобства представим это число в стандартном виде (научной нотации):
$0,00024 = 2,4 \cdot 10^{-4}$
Таким образом, в $1$ джоуле содержится приблизительно $2,4 \cdot 10^{-4}$ килокалорий.
Ответ: $1 \text{ Дж} \approx 2,4 \cdot 10^{-4} \text{ ккал}$.

1269. В таблице даны обозначения кратных и дольных приставок и соответствующие им множители.

Используя таблицу, выразите:

а) 2,5 ∙ 10² Мт в тоннах;

б) 3,1 ∙ 10¹⁰ мг в килограммах;

в) 1,5 ∙ 10⁻² гл в литрах;

г) 7 ∙ 10⁻⁷ м в микрометрах;

д) 8,4 ∙ 10⁻⁴ ккал в калориях.

a) $2,5·{10}^2 \text{Mт}=2,5·{10}^2·{10}^6\text{т}=2,5·{10}^8\text{т}$

б) $3,1·{10}^{10} \text{мг}=3,1·{10}^{10}·{10}^{-6}\text{кг}=3,1·{10}^4\text{кг}$

в) $1,5·{10}^{-2} \text{Гл}=1,5·{10}^{-2}·{10}^2\text{л}=1,5·{10}^0\text{л}=1,5\text{л}$

г) $7·{10}^{-7}\text{м}=7·{10}^{-7}·{10}^6=7·{10}^{-1} \text{мк}$

д) $8,4·{10}^{-4} \text{ккал}=8,4·{10}^{-4}·{10}^3=8,4·{10}^{-1} \text{кал}$

а) Чтобы выразить $2,5 \cdot 10^2$ Мт в тоннах, воспользуемся таблицей. Приставка "мега" (М) соответствует множителю $10^6$. Это означает, что $1 \text{ Мт} = 10^6 \text{ т}$. Следовательно, для перевода мегатонн в тонны нужно умножить значение на $10^6$.

$2,5 \cdot 10^2 \text{ Мт} = 2,5 \cdot 10^2 \cdot 10^6 \text{ т} = 2,5 \cdot 10^{2+6} \text{ т} = 2,5 \cdot 10^8 \text{ т}$.

Ответ: $2,5 \cdot 10^8$ тонн.

б) Чтобы выразить $3,1 \cdot 10^{10}$ мг в килограммах, выполним перевод в два этапа. Из таблицы: приставка "милли" (м) соответствует множителю $10^{-3}$, а "кило" (к) — $10^3$. Значит, $1 \text{ мг} = 10^{-3} \text{ г}$ и $1 \text{ кг} = 10^3 \text{ г}$ (или $1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$).

Сначала переводим миллиграммы в граммы: $3,1 \cdot 10^{10} \text{ мг} = 3,1 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-3} \text{ г} = 3,1 \cdot 10^7 \text{ г}$.

Затем граммы в килограммы: $3,1 \cdot 10^7 \text{ г} = 3,1 \cdot 10^7 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 3,1 \cdot 10^{7-3} \text{ кг} = 3,1 \cdot 10^4 \text{ кг}$.

Ответ: $3,1 \cdot 10^4$ килограммов.

в) Чтобы выразить $1,5 \cdot 10^{-2}$ гл в литрах, используем приставку "гекто" (г), которая согласно таблице соответствует множителю $10^2$. Таким образом, $1 \text{ гл} = 10^2 \text{ л}$.

$1,5 \cdot 10^{-2} \text{ гл} = 1,5 \cdot 10^{-2} \cdot 10^2 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-2+2} \text{ л} = 1,5 \cdot 10^0 \text{ л} = 1,5 \text{ л}$.

Ответ: $1,5$ литра.

г) Чтобы выразить $7 \cdot 10^{-7}$ м в микрометрах, используем приставку "микро" (мк) с множителем $10^{-6}$. Это значит, что $1 \text{ мкм} = 10^{-6} \text{ м}$. Отсюда можно выразить, что $1 \text{ м} = \frac{1}{10^{-6}} \text{ мкм} = 10^6 \text{ мкм}$.

Теперь выполним преобразование: $7 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \text{ мкм} = 7 \cdot 10^{-7+6} \text{ мкм} = 7 \cdot 10^{-1} \text{ мкм} = 0,7 \text{ мкм}$.

Ответ: $0,7$ микрометра.

д) Чтобы выразить $8,4 \cdot 10^{-4}$ ккал в калориях, используем приставку "кило" (к), которая соответствует множителю $10^3$. Следовательно, $1 \text{ ккал} = 10^3 \text{ кал}$.

$8,4 \cdot 10^{-4} \text{ ккал} = 8,4 \cdot 10^{-4} \cdot 10^3 \text{ кал} = 8,4 \cdot 10^{-4+3} \text{ кал} = 8,4 \cdot 10^{-1} \text{ кал} = 0,84 \text{ кал}$.

Ответ: $0,84$ калории.

1270. Масса Земли 6,0 ∙ 10²¹ т, а масса Луны 7,35 ∙ 10¹⁹ т. На сколько тонн масса Земли больше массы Луны?

$$\begin{gathered} 6,0·10^{21}-7,35·10^{19}=10^{19}\left(6,0·{10}^2-7,35\right)= \\ =\left(600-7,35\right)·10^{19}=592,65·10^{19}= \\ =5,9265·10^2·10^{19}=5,9265·10^{21}\text{т} \end{gathered}$$

Ответ: на $5,9265·10^{21}5,9265\; \backslash cdot\; 10^\{21\}$ тонн

Чтобы найти, на сколько тонн масса Земли больше массы Луны, необходимо из массы Земли вычесть массу Луны.

Дано:

Масса Земли: $M_З = 6,0 \cdot 10^{21}$ т.

Масса Луны: $M_Л = 7,35 \cdot 10^{19}$ т.

Для выполнения операции вычитания чисел, записанных в стандартном виде, необходимо, чтобы они имели одинаковый порядок, то есть одинаковый показатель степени у множителя 10. Приведем массу Луны к тому же порядку, что и масса Земли, то есть к $10^{21}$.

Мы знаем, что $10^{19} = 10^{21} \cdot 10^{-2} = 10^{21} \cdot 0,01$.

Тогда масса Луны будет равна:

$M_Л = 7,35 \cdot 10^{19} \text{ т} = 7,35 \cdot (10^{-2} \cdot 10^{21}) \text{ т} = (7,35 \cdot 0,01) \cdot 10^{21} \text{ т} = 0,0735 \cdot 10^{21} \text{ т}$.

Теперь, когда оба значения имеют одинаковый порядок, найдем их разность:

$M_З - M_Л = 6,0 \cdot 10^{21} \text{ т} - 0,0735 \cdot 10^{21} \text{ т}$.

Вынесем общий множитель $10^{21}$ за скобки:

$(6,0 - 0,0735) \cdot 10^{21} \text{ т} = 5,9265 \cdot 10^{21} \text{ т}$.

Ответ: масса Земли больше массы Луны на $5,9265 \cdot 10^{21}$ т.