Страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1323. Решите графическим способом систему уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{c}y-x^2=-1\\ y-2x=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=x^2-1\\ y=2x+1\end{array}\right.$

y=x²-1

y=2x+1

Ответ: (-0,7; -0,5), (2,7; 6,5)

в) $\left\{\begin{array}{c}xy-1=0\\ y+x^2=3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}xy=1\\ y=-x^2+3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{x}\\ y=-x^2+3\end{array}\right.$

$y=\frac{1}{x}$

y=-x²+3

Ответ: (0,5; 2,9), (1,5; 0,7), (-1,8; -0,6)

а)

Для решения системы уравнений графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. $$ \begin{cases} y - x^2 = -1, \\ y - 2x = 1 \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить y через x: $y - x^2 = -1 \implies y = x^2 - 1$. Графиком этого уравнения является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе:

• при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 1 = 3$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 - 1 = 0$
• при $x = 0$, $y = 0^2 - 1 = -1$
• при $x = 1$, $y = 1^2 - 1 = 0$
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 1 = 3$

2. Преобразуем второе уравнение: $y - 2x = 1 \implies y = 2x + 1$. Графиком этого уравнения является прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$

3. Построим графики параболы $y = x^2 - 1$ и прямой $y = 2x + 1$ в одной координатной плоскости.

4. Найдем точки пересечения графиков. Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек не являются целочисленными, поэтому графический метод дает лишь приблизительные значения. Для нахождения точного решения следует решить систему алгебраически. Приравняем правые части уравнений: $x^2 - 1 = 2x + 1$ $x^2 - 2x - 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = 2x + 1$: $y_1 = 2(1 + \sqrt{3}) + 1 = 2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3}$ $y_2 = 2(1 - \sqrt{3}) + 1 = 2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3}$ Точные координаты точек пересечения: $(1 + \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$ и $(1 - \sqrt{3}, 3 - 2\sqrt{3})$.

Ответ: $(1 + \sqrt{3}, 3 + 2\sqrt{3})$, $(1 - \sqrt{3}, 3 - 2\sqrt{3})$.

б)

Решим графически систему уравнений: $$ \begin{cases} xy - 1 = 0, \\ y + x^2 = 3 \end{cases} $$

1. Преобразуем первое уравнение: $xy - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{x}$. Графиком этого уравнения является гипербола. Ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0.5$, $y = 2$
• при $x = 1$, $y = 1$
• при $x = 2$, $y = 0.5$
• при $x = -0.5$, $y = -2$
• при $x = -1$, $y = -1$
• при $x = -2$, $y = -0.5$

2. Преобразуем второе уравнение: $y + x^2 = 3 \implies y = 3 - x^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $(0, 3)$. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = -2$, $y = 3 - (-2)^2 = -1$
• при $x = -1$, $y = 3 - (-1)^2 = 2$
• при $x = 0$, $y = 3 - 0^2 = 3$
• при $x = 1$, $y = 3 - 1^2 = 2$
• при $x = 2$, $y = 3 - 2^2 = -1$

3. Построим графики гиперболы $y = \frac{1}{x}$ и параболы $y = 3 - x^2$ в одной системе координат.

4. Из графика видно, что кривые пересекаются в трех точках. Координаты этих точек не являются целочисленными. Графический метод позволяет найти их лишь приблизительно, считывая значения с чертежа.

• Первая точка пересечения (в I четверти): $x \approx 0.3$, $y \approx 2.9$
• Вторая точка пересечения (в I четверти): $x \approx 1.5$, $y \approx 0.7$
• Третья точка пересечения (в III четверти): $x \approx -1.9$, $y \approx -0.5$

Алгебраическое решение этой системы приводит к кубическому уравнению $x^3 - 3x + 1 = 0$, которое не имеет простых рациональных корней. Поэтому для данной задачи в рамках графического метода достаточно указать приближенные решения.

Ответ: Приблизительные решения: $(0.3, 2.9)$; $(1.5, 0.7)$; $(-1.9, -0.5)$.

1324. Найдите решения системы уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)=3\\ 2y-3\left(x+y\right)=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ 2y-3x-3y=-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=5\\ -y-3x=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ -y=3x-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ y=4-3x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-{\left(4-3x\right)}^2=3\\ y=4-3x\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 4x^2-\left(16-24x+9x^2\right)=3 \\ 4x^2-16+24x-9x^2-3=0 \\ -5x^2+24x-19=0 \\ D={24}^2-4·\left(-5\right)·\left(-19\right)=576-380=196 \\ x=\frac{-24\pm \sqrt{196}}{-10}; x=\frac{-24\pm 14}{-10} \\ {x}_1=1; x_2=\mathrm{3,8} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=4-3x=4-3·1=1y=4-3x=4-3\; \backslash cdot\; 1=1$,

если $x=\mathrm{3,8}x=3,8$, то $y=4-3x=4-3·\mathrm{3,8}=4-\mathrm{11,4}=-\mathrm{7,4}y=4\; -\; 3x=4\; -\; 3\; \backslash cdot\; 3,8=4\; -\; 11,4=-7,4$

Ответ: $\left(1; 1\right), \left(\mathrm{3,8}; -\mathrm{7,4}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x-y\right)+y=5\\ {\left(2x-y\right)}^2=5x+15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-2y+y=5\\ 4x^2-4xy+y^2=5x+15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ {\left(2x-y\right)}^2=5x+15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5^2=5x+15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5x=25-15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5x=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ x=2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2·2-y=5\\ x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 4-y=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$

Ответ: $\left(2; -1\right)(2;\; -1)$

а)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}(2x - y)(2x + y) = 3, \\2y - 3(x + y) = -4;\end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения. Первое уравнение представляет собой разность квадратов:$(2x)^2 - y^2 = 3$$4x^2 - y^2 = 3$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:$2y - 3x - 3y = -4$$-3x - y = -4$Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:$3x + y = 4$

Теперь система имеет вид:$\begin{cases}4x^2 - y^2 = 3 \\3x + y = 4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 4 - 3x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:$4x^2 - (4 - 3x)^2 = 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:$4x^2 - (16 - 2 \cdot 4 \cdot 3x + (3x)^2) = 3$$4x^2 - (16 - 24x + 9x^2) = 3$$4x^2 - 16 + 24x - 9x^2 = 3$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:$-5x^2 + 24x - 16 - 3 = 0$$-5x^2 + 24x - 19 = 0$$5x^2 - 24x + 19 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 19 = 576 - 380 = 196$$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-24) - 14}{2 \cdot 5} = \frac{24 - 14}{10} = \frac{10}{10} = 1$$x_2 = \frac{-(-24) + 14}{2 \cdot 5} = \frac{24 + 14}{10} = \frac{38}{10} = 3.8$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя выражение $y = 4 - 3x$:Для $x_1 = 1$:$y_1 = 4 - 3(1) = 4 - 3 = 1$

Для $x_2 = 3.8$:$y_2 = 4 - 3(3.8) = 4 - 11.4 = -7.4$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(3.8; -7.4)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}2(x - y) + y = 5, \\(2x - y)^2 = 5x + 15;\end{cases}$

Упростим первое уравнение системы, раскрыв скобки:$2x - 2y + y = 5$$2x - y = 5$

Система принимает вид:$\begin{cases}2x - y = 5 \\(2x - y)^2 = 5x + 15\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения $(2x - y)$ совпадает с выражением под знаком квадрата во втором уравнении. Мы можем подставить значение $5$ вместо $(2x - y)$ во второе уравнение:$5^2 = 5x + 15$$25 = 5x + 15$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$5x = 25 - 15$$5x = 10$$x = \frac{10}{5} = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в упрощенное первое уравнение $2x - y = 5$, чтобы найти $y$:$2(2) - y = 5$$4 - y = 5$$-y = 5 - 4$$-y = 1$$y = -1$

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.

1325. Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ \frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ y=-3\left(x-2\right), \text{где} y\ne 0, x\ne 2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\\ y=-3x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=-3x+6\\ \frac{2}{-3x+6-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \frac{2}{5-3x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2} \\ \frac{2\left(x+1\right)+3\left(5-3x\right)}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2} \\ \frac{2x+2+15-9x}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$
$\frac{17-7x}{\left(5-3x\right)\left(x+1\right)}=\frac{5}{2}$$/·2\left(5-3x\right)\left(x+1\right)\ne 0; x\ne 1; x\ne \frac{5}{3}$

$$\begin{gathered} 2\left(17-7x\right)=5\left(5-3x\right)\left(x+1\right) \\ 34-14x=5\left(5x+5-3x^2-3x\right) \\ 34-14x=25x+25-15x^2-15x \\ 34-14x=10x+25-15x^2 \\ 15x^2-14x-10x+34-25=0 \\ 15x^2-24x+9=0 /:3 \\ 5x^2-8x+3=0 \\ D={\left(-8\right)}^2-4·5·3=64-60=4 \\ x=\frac{8\pm \sqrt{4}}{10}; x=\frac{8\pm 2}{10} \\ {x}_1=1; x_2=\mathrm{0,6} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=-3x+6=-3·1+6=3y=-3x+6=-3\; \backslash cdot\; 1+6=3$,

если $x=\mathrm{0,6}x=0,6$, то $y=-3x+6=-3·\mathrm{0,6}+6=-\mathrm{1,8}+6=\mathrm{4,2}y=-3x+6=-3\; \backslash cdot\; 0,6+6=-1,8+6=4,2$

Ответ: $\left(1; 3\right), \left(\mathrm{0,6}; \mathrm{4,2}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1} /·\left(y+1\right)\left(x-1\right)\ne 0, y\ne -1, x\ne 1\\ \frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3} /·3\left(x+2\right)\left(y-1\right)\ne 0, x\ne -2; y\ne 1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-1=2\left(y+1\right)\\ 4·3\left(y-1\right)+3\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(y-1\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x-1=2y+2\\ 12y-12+3x+6=xy-x+2y-2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y+3\\ 12y+3\left(2y+3\right)-6=y\left(2y+3\right)-\left(2y+3\right)+2y-2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y+3\\ 12y+6y+9-6=2y^2+3y-2y-3+2y-2\end{array}\right. \\ 18y+3=2y^2+3y-5 \\ 2y^2+3y-18y-5-3=0 \\ 2y^2-15y-8=0 \\ D={\left(-15\right)}^2-4·2·\left(-8\right)=225+64=289 \\ y=\frac{15\pm \sqrt{289}}{4}; y=\frac{15\pm 17}{4} \\ {y}_1=8; y_2=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=8y=8$, то $x=2y+3=2·8+3=19x=2y+3=2\; \backslash cdot\; 8+3=19$,

если $y=-\frac{1}{2}y=-\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $x=2y+3=-2·\frac{1}{2}+3=2$

Ответ: $\left(19; 8\right), \left(2; -\frac{1}{2}\right)$

а)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{2}{y-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{x-2} = -\frac{3}{y} \end{cases} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из знаменателей дробей получаем условия: $y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$; $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$; $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$; $y \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \notin \{-1, 2\}$, $y \notin \{0, 1\}$.

Преобразуем второе уравнение системы. Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:$$ 1 \cdot y = -3 \cdot (x-2) $$$$ y = -3x + 6 $$Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$$ \frac{2}{(-3x+6)-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{2}{5-3x} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(5-3x)(x+1)$:$$ \frac{2(x+1) + 3(5-3x)}{(5-3x)(x+1)} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{2x+2+15-9x}{5x+5-3x^2-3x} = \frac{5}{2} $$$$ \frac{17-7x}{-3x^2+2x+5} = \frac{5}{2} $$Снова используем свойство пропорции:$$ 2(17-7x) = 5(-3x^2+2x+5) $$$$ 34 - 14x = -15x^2 + 10x + 25 $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$ 15x^2 - 14x - 10x + 34 - 25 = 0 $$$$ 15x^2 - 24x + 9 = 0 $$Разделим уравнение на 3 для упрощения:$$ 5x^2 - 8x + 3 = 0 $$Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2-4ac$:$$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 $$Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8+2}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$$$ x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$Оба значения $x$ входят в ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = -3x+6$.
1. Для $x_1 = 1$:$$ y_1 = -3(1) + 6 = 3 $$Значение $y_1 = 3$ входит в ОДЗ. Первая пара решений: $(1, 3)$.
2. Для $x_2 = \frac{3}{5}$:$$ y_2 = -3\left(\frac{3}{5}\right) + 6 = -\frac{9}{5} + \frac{30}{5} = \frac{21}{5} $$Значение $y_2 = \frac{21}{5}$ входит в ОДЗ. Вторая пара решений: $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

Проверка подтверждает правильность найденных решений.
Ответ: $(1, 3)$, $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

б)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{1}{y+1} = \frac{2}{x-1} \\ \frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} \end{cases} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
Из знаменателей дробей получаем условия: $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$; $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$; $y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \notin \{1, -2\}$, $y \notin \{-1, 1\}$.

Преобразуем первое уравнение системы. Используя свойство пропорции, получаем:$$ 1 \cdot (x-1) = 2 \cdot (y+1) $$$$ x - 1 = 2y + 2 $$$$ x = 2y + 3 $$Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ \frac{4}{(2y+3)+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{4}{2y+5} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} $$Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(2y+5)(y-1)$:$$ \frac{4(y-1) + 1(2y+5)}{(2y+5)(y-1)} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{4y-4+2y+5}{2y^2-2y+5y-5} = \frac{1}{3} $$$$ \frac{6y+1}{2y^2+3y-5} = \frac{1}{3} $$Используем свойство пропорции:$$ 3(6y+1) = 1(2y^2+3y-5) $$$$ 18y + 3 = 2y^2 + 3y - 5 $$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$ 2y^2 + 3y - 18y - 5 - 3 = 0 $$$$ 2y^2 - 15y - 8 = 0 $$Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2-4ac$:$$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 $$Корни уравнения:$$ y_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15+17}{4} = \frac{32}{4} = 8 $$$$ y_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{15-17}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$Оба значения $y$ входят в ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 2y+3$.
1. Для $y_1 = 8$:$$ x_1 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19 $$Значение $x_1 = 19$ входит в ОДЗ. Первая пара решений: $(19, 8)$.
2. Для $y_2 = -\frac{1}{2}$:$$ x_2 = 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2 $$Значение $x_2 = 2$ входит в ОДЗ. Вторая пара решений: $(2, -\frac{1}{2})$.

Проверка подтверждает правильность найденных решений.
Ответ: $(19, 8)$, $(2, -\frac{1}{2})$.

1326. Найдите решения системы уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-3y^2-y=-6\\ 2x^2-3y^2=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2=3y^2+y-6\\ 2\left(3y^2+y-6\right)-3y^2=-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}^2=3y^2+y=-6\\ 6y^2+2y-12-3y^2+4=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 3y^2+2y-8=0 \\ D=2^2-4·3·\left(-8\right)=4+96=100 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{100}}{6}; y=\frac{-2\pm 10}{6} \\ {y}_1=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3} \\ {y}_2=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=3·{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+\frac{4}{3}-6\end{array}\text{или}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=3·\frac{16}{9}+\frac{4}{3}-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{16}{3}+\frac{4}{3}-6\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{l}y=-2\\ x^2=3·{\left(-2\right)}^2-2-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x^2=12-8\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x^2=4\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=2\end{array}\right. \text{или} \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=-2\end{array}\right.\end{array} \\ \left\{\begin{array}{l}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{20}{3}-6\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x^2=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x=\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right. \text{или} \left\{\begin{array}{c}y=1\frac{1}{3}\\ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: $\left(\sqrt{\frac{2}{3}}; 1\frac{1}{3}\right)(\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{3\}\};\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}), \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}; 1\frac{1}{3}\right)(-\backslash sqrt\{\backslash frac\{2\}\{3\}\};\; 1\backslash frac\{1\}\{3\}), \left(2; -2\right)(2;\; -2), \left(-2; -2\right)(-2;\; -2)$

б) $\left\{\begin{array}{l}2x^2+xy=16\\ 3x^2+xy-x=18\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}xy=16-2x^2\\ 3x^2+16-2x^2-x=18\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}xy=16-2x^2\\ x^2-x-2=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} x^2-x-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{1\pm 3}{2} \\ {x}_1=2; x_2=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} x=2, \text{то}& xy=16-2x^2\\ & 2y=16-2·2^2 \\ 2y=8 \\ y=4\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{Если} x=-1, \text{то}& xy=16-2x^2\\ & -y=16-2·{\left(-1\right)}^2 \\ -y=14 \\ y=-14\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(2; 4\right)(2;\; 4), \left(-1; -14\right)(-1;\; -14)$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 - y = -6, \\ 2x^2 - 3y^2 = -4. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения (вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:

$(2x^2 - 3y^2) - (x^2 - 3y^2 - y) = -4 - (-6)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3y^2 - x^2 + 3y^2 + y = -4 + 6$

$x^2 + y = 2$

Из полученного простого уравнения выразим $x^2$ через $y$:

$x^2 = 2 - y$

Теперь подставим это выражение для $x^2$ во второе уравнение исходной системы $2x^2 - 3y^2 = -4$:

$2(2 - y) - 3y^2 = -4$

$4 - 2y - 3y^2 = -4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 + 2y - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя соотношение $x^2 = 2 - y$.

1. Если $y_1 = \frac{4}{3}$:

$x^2 = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Получаем два решения: $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{4}{3})$.

2. Если $y_2 = -2$:

$x^2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

Отсюда $x = \pm\sqrt{4} = \pm2$.

Получаем еще два решения: $(2, -2)$ и $(-2, -2)$.

Таким образом, система имеет четыре пары решений.

Ответ: $(2; -2)$, $(-2; -2)$, $(\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{4}{3})$, $(-\frac{\sqrt{6}}{3}; \frac{4}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 16, \\ 3x^2 + xy - x = 18. \end{cases} $

В обоих уравнениях присутствует слагаемое $xy$. Применим метод вычитания, чтобы избавиться от этого слагаемого. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x^2 + xy - x) - (2x^2 + xy) = 18 - 16$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 + xy - x - 2x^2 - xy = 2$

$x^2 - x = 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2, следовательно, корни это $2$ и $-1$. Либо найдем их через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$. Воспользуемся первым уравнением системы: $2x^2 + xy = 16$.

Выразим из него $y$:

$xy = 16 - 2x^2 \implies y = \frac{16 - 2x^2}{x}$

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{16 - 2(2^2)}{2} = \frac{16 - 2 \cdot 4}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Получаем первое решение: $(2, 4)$.

2. При $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{16 - 2(-1)^2}{-1} = \frac{16 - 2 \cdot 1}{-1} = \frac{14}{-1} = -14$

Получаем второе решение: $(-1, -14)$.

Проверим найденные решения, подставив их во второе уравнение $3x^2 + xy - x = 18$.

Для $(2, 4)$: $3(2^2) + (2)(4) - 2 = 3(4) + 8 - 2 = 12 + 8 - 2 = 18$. Верно.

Для $(-1, -14)$: $3(-1)^2 + (-1)(-14) - (-1) = 3(1) + 14 + 1 = 18$. Верно.

Ответ: $(2; 4)$, $(-1; -14)$.

1327. Решите систему уравнений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а) }}\left\{\begin{array}{l}7xy+2x^2-4y^2=0\\ x^2-5xy+y=-11\end{array}\right. \\ 7xy+2x^2-4y^2=0 \\ 2x^2+7yx-4y^2=0 \\ a=2; b=7y; c=-4y^2 \\ D={\left(7y\right)}^2-4·2·\left(-4y^2\right)=49y^2+32y^2=81y^2 \\ x=\frac{-7y\pm \sqrt{81y^2}}{4}; x=\frac{-7y\pm 9y}{4} \\ {x}_1=\frac{y}{2}; x_2=-4y \\ \text{Если }x=\frac{y}{2},\text{то} \\ \left\{\begin{array}{c}7y·\frac{y}{2}+2{\left(\frac{y}{2}\right)}^2-4y^2=0\\ {\left(\frac{y}{2}\right)}^2-5·\frac{y}{2}y+y=-11\end{array}\right. \\ \frac{y^2}{4}-\frac{5y^2}{2}+y=-11 \\ \frac{y^2}{4}-\frac{10y^2}{4}+y=-11 /·4 \\ {y}^2-10y^2+4y=-44 \\ -9y^2+4y+44=0 \\ D=4^2-4·\left(-9\right)·44=16+1584=1600 \\ y=\frac{-4\pm \sqrt{1600}}{-18}; y=\frac{-4\pm 40}{-18} \\ {y}_1=-2; y_2=\frac{-44}{-18}=\frac{22}{9} \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=\frac{-2}{2}\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}y=\frac{22}{9}\\ x=\frac{22}{9}:2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}y=-2\\ x=-1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}y=\frac{22}{9}\\ x=\frac{11}{9}\end{array}\right.\end{array} \\ \text{Если }x=-4y, \text{то} \\ {\left(-4y\right)}^2-5\left(-4y\right)y+y=-11 \\ 16y^2+20y^2+y+11=0 \\ 36y^2+y+11=0 \\ D=1^2-4·36·11=1-1584<0 \end{gathered}$$

корней нет

Ответ: $\left(-1; -2\right), \left(\frac{11}{9}; \frac{22}{9}\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\left\{\begin{array}{l}6x^2+2xy-3x-y=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x\left(3x+y\right)-\left(3x+y\right)=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\left(3x+y\right)\left(2x-1\right)=0\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left(3x+y\right)\left(2x-1\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}3x+y=0& \text{или}& 2x-1=0\\ y=-3x& & 2x=1\\ & & x=\mathrm{0,5}\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=-3x\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 2x^2-{\left(-3x\right)}^2+2x-3x=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 2x^2-9x^2-x=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ -7x^2-x-\frac{3}{2}=0 \mathrm{/}·\left(-2\right)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}y=-3x\\ 14x^2+2x+3=0\end{array}\right. \\ 14x^2+2x+3=0 \\ D=2^2-4·14·3=4-168<0 \\ \text{нет корней} \\ \text{ или } \\ \left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{0,5}\\ 2x^2-y^2+2x+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,5}\\ 2·0,5^2-y^2+2·\mathrm{0,5}+y=\frac{3}{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}x=\mathrm{0,5}\\ \mathrm{0,5}-y^2+1+y=1,5\end{array}\right. \\ -y^2+y+\mathrm{1,5}-\mathrm{1,5}=0 \\ -y^2+y=0 \\ -y\left(y-1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& y-1=0\\ & & y=1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: (0,5; 0), (0,5; 1)

а) Данная система уравнений:

$ \begin{cases} 7xy + 2x^2 - 4y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + y = -11; \end{cases} $

Первое уравнение, $2x^2 + 7xy - 4y^2 = 0$, является однородным уравнением второго порядка. Если предположить, что $y=0$, то из первого уравнения следует, что $2x^2=0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением второго уравнения, так как $0 \neq -11$. Следовательно, $y \neq 0$. Мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$2t^2 + 7t - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

Это дает нам два случая для соотношения между $x$ и $y$.

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, что эквивалентно $y = 2x$.

Подставим это во второе уравнение системы $x^2 - 5xy + y = -11$:

$x^2 - 5x(2x) + 2x = -11$

$x^2 - 10x^2 + 2x + 11 = 0$

$-9x^2 + 2x + 11 = 0$

$9x^2 - 2x - 11 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_x = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.

Находим значения $x$:

$x_1 = \frac{2 + 20}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$

$x_2 = \frac{2 - 20}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Для $x_1 = \frac{11}{9}$, $y_1 = 2 \cdot \frac{11}{9} = \frac{22}{9}$.

Для $x_2 = -1$, $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Таким образом, мы получили два решения: $(\frac{11}{9}, \frac{22}{9})$ и $(-1, -2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -4$, что эквивалентно $x = -4y$.

Подставим это во второе уравнение системы:

$(-4y)^2 - 5(-4y)y + y = -11$

$16y^2 + 20y^2 + y = -11$

$36y^2 + y + 11 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_y = 1^2 - 4 \cdot 36 \cdot 11 = 1 - 1584 = -1583$.

Поскольку $D_y < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(-1, -2)$, $(\frac{11}{9}, \frac{22}{9})$.

б) Данная система уравнений:

$ \begin{cases} 6x^2 + 2xy - 3x - y = 0, \\ 2x^2 - y^2 + 2x + y = \frac{3}{2}. \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение системы и разложим его левую часть на множители методом группировки:

$6x^2 + 2xy - 3x - y = 0$

$(6x^2 - 3x) + (2xy - y) = 0$

$3x(2x - 1) + y(2x - 1) = 0$

$(2x - 1)(3x + y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$.

Подставим $x = \frac{1}{2}$ во второе уравнение системы:

$2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - y^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) + y = \frac{3}{2}$

$2 \cdot \frac{1}{4} - y^2 + 1 + y = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} - y^2 + 1 + y = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} - y^2 + y = \frac{3}{2}$

$-y^2 + y = 0$

$y(1-y) = 0$

Отсюда получаем $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.

Это дает нам две пары решений: $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(\frac{1}{2}, 1)$.

Случай 2: $3x + y = 0 \implies y = -3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2x^2 - (-3x)^2 + 2x + (-3x) = \frac{3}{2}$

$2x^2 - 9x^2 - x = \frac{3}{2}$

$-7x^2 - x = \frac{3}{2}$

$14x^2 + 2x + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D_x = 2^2 - 4 \cdot 14 \cdot 3 = 4 - 168 = -164$.

Поскольку $D_x < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 0)$, $(\frac{1}{2}, 1)$.

1328. Найдите решения системы уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x-y\right)}^2+x+y=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=-2\\ x^2-2xy+y^2+x+y=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x^2-2·\left(-2\right)+y^2+x+y=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2-2xy+x+y+4=10\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2-2·(-2)+(x+y)+4-10=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2+\left(x+y\right)+4-6=0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ {\left(x+y\right)}^2+\left(x+y\right)-2=0\end{array}\right. \\ x+y=t \\ {t}^2+t-2=0 \\ D=1^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ t=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}; t=\frac{-1\pm 3}{2} \\ {t}_1=1; t_2=-2 \\ \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=1\end{array}\right.\left(1\right)\text{ или }\left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=-2\end{array}\right.\left(2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}x=1-y\\ \left(1-y\right)y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=1-y\\ y-y^2+2=0\end{array}\right. \\ {y}^2-y-2=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)=1+8=9 \\ y=\frac{1\pm \sqrt{9}}{2}; y=\frac{1\pm 3}{2} \\ {y}_1=2; y_2=-1 \end{gathered}$$

Если y=2, то x=1-y=1-2=-1,

если y=-1, то x=1-(-1)=2

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}xy=-2\\ x+y=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-2-y\\ \left(-2-y\right)y=-2\end{array}\right. \\ -2y-y^2+2=0 \\ {y}^2+2y-2=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-2\right)=4+8=12 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}; y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} \\ {y}_1=-1+\sqrt{3}; y_2=-1-\sqrt{3} \end{gathered}$$

Если $y=-1+\sqrt{3}$, то $$\begin{gathered} x=-2-y=-2-(-1+\sqrt{3})=-2+1-\sqrt{3}= \\ =-1-\sqrt{3}, \end{gathered}$$

если $y=-1-\sqrt{3}$, то $$\begin{gathered} x=-2-y=-2-(-1-\sqrt{3})=-2+1+\sqrt{3}= \\ =-1+\sqrt{3} \end{gathered}$$

Ответ: (-1; 2), (2; -1); $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3}), (-1+\sqrt{3}; -1-\sqrt{3})$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} xy = -2 \\ (x - y)^2 + x + y = 10 \end{cases} $$

Для её решения удобно применить метод введения новых переменных. Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Из первого уравнения системы сразу получаем $v = -2$.

Теперь преобразуем второе уравнение. Выразим выражение $(x - y)^2$ через $u$ и $v$.

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Также известно, что $u^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Отсюда можно выразить $x^2 + y^2 = u^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Подставим это выражение в формулу для квадрата разности:

$(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = (u^2 - 2v) - 2v = u^2 - 4v$.

Теперь заменим выражения в исходном втором уравнении на новые переменные:

$(x - y)^2 + (x + y) = 10 \implies (u^2 - 4v) + u = 10$

Получили систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v = -2 \\ u^2 - 4v + u = 10 \end{cases} $$

Подставим значение $v = -2$ во второе уравнение:

$u^2 - 4(-2) + u = 10$

$u^2 + 8 + u = 10$

$u^2 + u - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $u$. Его можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Следовательно, корни уравнения: $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.

Теперь нужно вернуться к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев два случая.

Случай 1. Пусть $u = 1$ и $v = -2$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 1 \cdot t - 2 = 0 \implies t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2. Пусть $u = -2$ и $v = -2$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x + y = -2 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - (-2)t - 2 = 0 \implies t^2 + 2t - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

Корни: $t_1 = -1 + \sqrt{3}$ и $t_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(-1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3})$ и $(-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})$.

Объединяя все найденные пары, получаем четыре решения исходной системы.

Ответ: $(2, -1)$, $(-1, 2)$, $(-1 + \sqrt{3}, -1 - \sqrt{3})$, $(-1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3})$.

1329. Решите систему уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x^2+4xy-5y=1\\ x^2+xy-6y^2=0\end{array}\right.$

Решим второе уравнение системы относительно переменной x

$$\begin{gathered} x^2+xy-6y^2=0 \\ D=y^2-4·1·\left(-6y^2\right)=y^2+24y^2=25y^2 \\ x=\frac{-y\pm \sqrt{25y^2}}{2}; x=\frac{-y\pm 5y}{2} \\ {x}_1=2y; x_2=-3y \end{gathered}$$

$\mathbf{\text{I}}. \left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\text{или }\mathbf{\text{II}}. \left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I.}}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 2·{\left(2y\right)}^2+4·2y·y-5y=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 8y^2+8y^2-5y-1=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2y\\ 16y^2-5y-1=0\end{array}\right. \\ 16y^2-5y-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·16·\left(-1\right)=25+64=89 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{89}}{32} \\ \begin{array}{lc}\left\{\begin{array}{l}{y}_1=\frac{5+\sqrt{89}}{32}\\ x_1=2\frac{5+\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\text{или}& \left\{\begin{array}{l}{y}_2=\frac{5-\sqrt{89}}{32}\\ x_2=2\frac{5-\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x=\frac{5+\sqrt{89}}{16}\\ y=\frac{5+\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.& \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5-\sqrt{89}}{16}\\ y=\frac{5-\sqrt{89}}{32}\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II. }}\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2x^2+4xy-5y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 2{\left(-3y\right)}^2+4\left(-3y\right)y-5y-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 18y^2-12y^2-5y-1=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=-3y\\ 6y^2-5y-1=0\end{array}\right. \\ 6y^2-5y-1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·6·\left(-1\right)=25+24=49 \\ y=\frac{5\pm \sqrt{49}}{12}; y=\frac{5\pm 7}{12} \\ {y}_1=1; y_2=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$\begin{array}{lcc}\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-3y\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{6}\\ x=-3y\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=-3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{6}\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: $\left(\frac{5+\sqrt{89}}{16}; \frac{5+\sqrt{89}}{32}\right), \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16}; \frac{5-\sqrt{89}}{32}\right),$$\left(-3; 1\right), \left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{6}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}x\left(3x-2y\right)=y^2\\ 3y^2=2x\left(x+2\right)-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x^2-2xy-y^2=0\\ 3y^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 3x^2-2xy-y^2=0 \\ D={\left(-2y\right)}^2-4·3·\left(-y^2\right)=4y^2+12y^2=16y^2 \\ x=\frac{2y\pm \sqrt{16y^2}}{6}; x=\frac{2y\pm 4y}{6} \\ {x}_1=y; x_2=-\frac{y}{3} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3y^2+2x^2+4x-3\end{array}\right.$ или $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{y}{3}; y=-3x\\ 3y^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3x^2=2x^2+4x-3\end{array}\right.\text{или}\mathbf{\text{ II. }}\left\{\begin{array}{l}y=-3x\\ 3{(-3x)}^2=2x^2+4x-3\end{array}\right. \\ 3x^2=2x^2+4x-3 \\ 3x^2-2x^2-4x+3=0 \\ {x}^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·1·3=16-12=4 \\ x=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{4\pm 2}{2} \\ {x}_1=3; x_2=1 \\ \left\{\begin{array}{c}x=3\\ y=3\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II.}} 3·{(-3x)}^2=2x^2+4x-3 \\ 27x^2-2x^2-4x+3=0 \\ 25x^2-4x+3=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·25·3=16-300<0 \end{gathered}$$

корней нет

Ответ: (3; 1), (1; 1)

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 + 4xy - 5y = 1, \\ x^2 + xy - 6y^2 = 0; \end{cases} $$

Второе уравнение системы, $x^2 + xy - 6y^2 = 0$, является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно переменной $x$, рассматривая его как квадратное уравнение $x^2 + (y)x - 6y^2 = 0$.

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6y^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 + 24y^2}}{2} = \frac{-y \pm \sqrt{25y^2}}{2} = \frac{-y \pm 5y}{2}$

Отсюда получаем два возможных соотношения между $x$ и $y$:

1) $x = \frac{-y + 5y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

2) $x = \frac{-y - 5y}{2} = \frac{-6y}{2} = -3y$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения в первое уравнение системы $2x^2 + 4xy - 5y = 1$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x = 2y$ в первое уравнение:

$2(2y)^2 + 4(2y)y - 5y = 1$

$2(4y^2) + 8y^2 - 5y = 1$

$8y^2 + 8y^2 - 5y = 1$

$16y^2 - 5y - 1 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1)}}{2 \cdot 16} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 64}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{32}$

Находим соответствующие значения $x$, используя соотношение $x=2y$:

При $y_1 = \frac{5 + \sqrt{89}}{32}$, получаем $x_1 = 2 \cdot \frac{5 + \sqrt{89}}{32} = \frac{5 + \sqrt{89}}{16}$.

При $y_2 = \frac{5 - \sqrt{89}}{32}$, получаем $x_2 = 2 \cdot \frac{5 - \sqrt{89}}{32} = \frac{5 - \sqrt{89}}{16}$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}, \frac{5 + \sqrt{89}}{32})$ и $(\frac{5 - \sqrt{89}}{16}, \frac{5 - \sqrt{89}}{32})$.

Случай 2: $x = -3y$

Подставляем $x = -3y$ в первое уравнение:

$2(-3y)^2 + 4(-3y)y - 5y = 1$

$2(9y^2) - 12y^2 - 5y = 1$

$18y^2 - 12y^2 - 5y = 1$

$6y^2 - 5y - 1 = 0$

Решаем это квадратное уравнение относительно $y$:

$y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{5 \pm 7}{12}$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_3 = \frac{5+7}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$y_4 = \frac{5-7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Находим соответствующие значения $x$, используя соотношение $x=-3y$:

При $y_3 = 1$, получаем $x_3 = -3 \cdot 1 = -3$.

При $y_4 = -\frac{1}{6}$, получаем $x_4 = -3 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-3, 1)$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{6})$.

Ответ: $(-3, 1)$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{6})$, $(\frac{5 + \sqrt{89}}{16}, \frac{5 + \sqrt{89}}{32})$, $(\frac{5 - \sqrt{89}}{16}, \frac{5 - \sqrt{89}}{32})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x(3x - 2y) = y^2, \\ 3y^2 = 2x(x + 2) - 3; \end{cases} $$

Сначала преобразуем уравнения к более удобному виду:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 0, \\ 3y^2 = 2x^2 + 4x - 3; \end{cases} $$

Первое уравнение, $3x^2 - 2xy - y^2 = 0$, является однородным. Решим его относительно $y$. Перепишем его в виде $y^2 + 2xy - 3x^2 = 0$ и применим формулу для корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3x^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2x \pm \sqrt{4x^2 + 12x^2}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{16x^2}}{2} = \frac{-2x \pm 4x}{2}$

Отсюда получаем два случая:

1) $y = \frac{-2x + 4x}{2} = \frac{2x}{2} = x$

2) $y = \frac{-2x - 4x}{2} = \frac{-6x}{2} = -3x$

Рассмотрим каждый случай, подставляя полученные выражения во второе уравнение системы $3y^2 = 2x^2 + 4x - 3$.

Случай 1: $y = x$

Подставляем $y=x$ во второе уравнение:

$3(x)^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$3x^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение легко решается разложением на множители:

$(x-1)(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Находим соответствующие значения $y$ из соотношения $y=x$:

При $x_1 = 1$, получаем $y_1 = 1$.

При $x_2 = 3$, получаем $y_2 = 3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(1, 1)$ и $(3, 3)$.

Случай 2: $y = -3x$

Подставляем $y=-3x$ во второе уравнение:

$3(-3x)^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$3(9x^2) = 2x^2 + 4x - 3$

$27x^2 = 2x^2 + 4x - 3$

$25x^2 - 4x + 3 = 0$

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 16 - 300 = -284$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственными решениями системы являются пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1, 1)$, $(3, 3)$.

1330. Найдите решения системы уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=y^2+5\\ x^2-xy=y^2+1 /·(-1)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x^2-xy=y^2+5\\ -x^2+xy=-y^2-1\end{array}\right.$

Применим способ сложения

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2-2y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y^2+2y+1-4=0\end{array}\right. \\ {y}^2+2y-3=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{-2\pm 4}{2} \\ {y}_1=1; y_2=-3 \\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ x^2-xy=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ 4+2y=y^2+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y^2-2y-3=0\end{array}\right. \\ {y}^2-2y-3=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)=4+12=16 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}; y=\frac{2\pm 4}{2} \\ {y}_1=3; y_2=-1 \\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (2;1), (2;-3), (-2;3), (-2;-1)

б) $\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y^2=2xy-1\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x^2-2y^2=2x^2-y^2\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x^2-2x^2-2y^2+y^2=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$

$\mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.\text{или}\mathbf{\text{ II.}} \left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2x^2-y^2=2xy-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{I. }}\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 2x^2-x^2=2x^2-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=y\\ x^2=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.или \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{II. }}\left\{\begin{array}{l}-x=+y\\ 2x^2-x^2=-2x^2-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=-x\\ 3x^2=-1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=-x\\ x^2=-\frac{1}{3} - \text{нет корней}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: (1; 1) и (-1; -1)

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - xy = y^2 + 5 \\ x^2 - xy = y^2 + 1 \end{cases} $$

Перепишем систему, перенеся члены с $y^2$ в левую часть:

$$ \begin{cases} 2x^2 - xy - y^2 = 5 \\ x^2 - xy - y^2 = 1 \end{cases} $$

Это удобная структура для метода вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x^2 - xy - y^2) - (x^2 - xy - y^2) = 5 - 1$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$2x^2 - xy - y^2 - x^2 + xy + y^2 = 4$

$x^2 = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Теперь необходимо найти соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$. Подставим их во второе уравнение исходной системы $x^2 - xy = y^2 + 1$.

Случай 1: $x = 2$.

Подставляем значение в уравнение:

$(2)^2 - 2y = y^2 + 1$

$4 - 2y = y^2 + 1$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 1)$ и $(2, -3)$.

Случай 2: $x = -2$.

Подставляем значение в уравнение:

$(-2)^2 - (-2)y = y^2 + 1$

$4 + 2y = y^2 + 1$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $y_3 = 3$ и $y_4 = -1$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-2, 3)$ и $(-2, -1)$.

В итоге, система имеет четыре решения.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(-2, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 2xy - 1 \\ 2x^2 - y^2 = 2xy - 1 \end{cases} $$

Обратим внимание, что правые части обоих уравнений одинаковы. Это позволяет нам приравнять их левые части:

$3x^2 - 2y^2 = 2x^2 - y^2$

Упростим полученное уравнение, собрав подобные члены:

$3x^2 - 2x^2 = 2y^2 - y^2$

$x^2 = y^2$

Это уравнение означает, что либо $y = x$, либо $y = -x$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $y = x$.

Подставим это соотношение в любое из исходных уравнений. Возьмем второе: $2x^2 - y^2 = 2xy - 1$.

$2x^2 - (x)^2 = 2x(x) - 1$

$x^2 = 2x^2 - 1$

$2x^2 - x^2 = 1$

$x^2 = 1$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Поскольку $y = x$, находим соответствующие значения $y$:

Если $x=1$, то $y=1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Если $x=-1$, то $y=-1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Случай 2: $y = -x$.

Подставим это соотношение во второе уравнение: $2x^2 - y^2 = 2xy - 1$.

$2x^2 - (-x)^2 = 2x(-x) - 1$

$2x^2 - x^2 = -2x^2 - 1$

$x^2 = -2x^2 - 1$

$3x^2 = -1$

$x^2 = -1/3$

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, система имеет только два решения, полученные в первом случае.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

1331. От пристани отправился первый катер. Через 1 ч вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера.

Пусть x км/ч - скорость первого катера, y км/ч - скорость второго катера, тогда $\frac{30}{x}\text{ч}\backslash frac\{30\}\{x\}ч$ - время, которое потратил первый катер до момента, когда его догнал второй катер; $\frac{30}{y}\text{ч}$ - время второго катера. Зная, что второй катер отправился через 1ч после выхода первого, можно составить уравнение $\frac{30}{y}+1=\frac{30}{x}\left(1\right).$ Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10км/ч, то (x+10)км/ч - его скорость, с которой он прошёл (90-x)км. Значит, время, потраченное на это расстояние равно $\frac{90-x}{x+10}\text{ч.}$ Но так как 1ч он шёл со скоростью x км/ч, то время, которое он потратил на 90км равно $\left(1+\frac{90-x}{x+10}\right)\text{ч}.$ Время, потраченное на расстояние 90км вторым катером равно $\frac{90}{y}\text{ч.}$ Зная, что второй катер вышел на 1ч позже первого, можно составить уравнение $1+\frac{90-x}{x+10}=1+\frac{90}{y}\left(2\right)1+\backslash frac\{90-x\}\{x+10\}=1+\backslash frac\{90\}\{y\}\; (2)$

Получили спестему уравнений

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{30}{y}+1=\frac{30}{x}\\ 1+\frac{90-x}{x+10}=1+\frac{90}{y}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\frac{90-x}{x+10}=\frac{90}{y}\\ \frac{30}{x}-\frac{30}{y}=1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}\\ 30\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}}\right)=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{90\left(x+10\right)}{90-x}\\ \frac{1}{x}-\frac{90-x}{90\left(x+10\right)}=\frac{1}{30}\end{array}\right. \\ \frac{1}{x}-\frac{90-x}{90\left(x+10\right)}=\frac{1}{30} /·90x(x+10)\ne 0 \\ 90\left(x+10\right)-x\left(90-x\right)=3x\left(x+10\right) \\ 90x+900-90x+x^2=3x^2+30x \\ 3x^2-x^2+30x-900=0 \\ 2x^2+30x-900=0 \mathrm{/}:2 \\ {x}^2+15x-450=0 \\ D=15^2-4·1·\left(-450\right)=225+1800=2025 \\ x=\frac{-15\pm \sqrt{2025}}{2}; x=\frac{-15\pm 45}{2} \end{gathered}$$
$x_1=15; x_2=-30<0$ - не удовлетворяет условию задачи $x>0x>0$