Номер 1324, страница 287 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1324, страница 287.

1324. Найдите решения системы уравнений:

a) $\left\{\begin{array}{l}\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)=3\\ 2y-3\left(x+y\right)=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ 2y-3x-3y=-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=5\\ -y-3x=-4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ -y=3x-4\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}4x^2-y^2=3\\ y=4-3x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}4x^2-{\left(4-3x\right)}^2=3\\ y=4-3x\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 4x^2-\left(16-24x+9x^2\right)=3 \\ 4x^2-16+24x-9x^2-3=0 \\ -5x^2+24x-19=0 \\ D={24}^2-4·\left(-5\right)·\left(-19\right)=576-380=196 \\ x=\frac{-24\pm \sqrt{196}}{-10}; x=\frac{-24\pm 14}{-10} \\ {x}_1=1; x_2=\mathrm{3,8} \end{gathered}$$

Если $x=1x=1$, то $y=4-3x=4-3·1=1y=4-3x=4-3\; \backslash cdot\; 1=1$,

если $x=\mathrm{3,8}x=3,8$, то $y=4-3x=4-3·\mathrm{3,8}=4-\mathrm{11,4}=-\mathrm{7,4}y=4\; -\; 3x=4\; -\; 3\; \backslash cdot\; 3,8=4\; -\; 11,4=-7,4$

Ответ: $\left(1; 1\right), \left(\mathrm{3,8}; -\mathrm{7,4}\right)$

б) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x-y\right)+y=5\\ {\left(2x-y\right)}^2=5x+15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-2y+y=5\\ 4x^2-4xy+y^2=5x+15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ {\left(2x-y\right)}^2=5x+15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5^2=5x+15\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5x=25-15\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 5x=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ x=2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2·2-y=5\\ x=2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 4-y=5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$

Ответ: $\left(2; -1\right)(2;\; -1)$

а)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}(2x - y)(2x + y) = 3, \\2y - 3(x + y) = -4;\end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения. Первое уравнение представляет собой разность квадратов:$(2x)^2 - y^2 = 3$$4x^2 - y^2 = 3$

Теперь упростим второе уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:$2y - 3x - 3y = -4$$-3x - y = -4$Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:$3x + y = 4$

Теперь система имеет вид:$\begin{cases}4x^2 - y^2 = 3 \\3x + y = 4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 4 - 3x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:$4x^2 - (4 - 3x)^2 = 3$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:$4x^2 - (16 - 2 \cdot 4 \cdot 3x + (3x)^2) = 3$$4x^2 - (16 - 24x + 9x^2) = 3$$4x^2 - 16 + 24x - 9x^2 = 3$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:$-5x^2 + 24x - 16 - 3 = 0$$-5x^2 + 24x - 19 = 0$$5x^2 - 24x + 19 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 19 = 576 - 380 = 196$$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-(-24) - 14}{2 \cdot 5} = \frac{24 - 14}{10} = \frac{10}{10} = 1$$x_2 = \frac{-(-24) + 14}{2 \cdot 5} = \frac{24 + 14}{10} = \frac{38}{10} = 3.8$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя выражение $y = 4 - 3x$:Для $x_1 = 1$:$y_1 = 4 - 3(1) = 4 - 3 = 1$

Для $x_2 = 3.8$:$y_2 = 4 - 3(3.8) = 4 - 11.4 = -7.4$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(3.8; -7.4)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}2(x - y) + y = 5, \\(2x - y)^2 = 5x + 15;\end{cases}$

Упростим первое уравнение системы, раскрыв скобки:$2x - 2y + y = 5$$2x - y = 5$

Система принимает вид:$\begin{cases}2x - y = 5 \\(2x - y)^2 = 5x + 15\end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения $(2x - y)$ совпадает с выражением под знаком квадрата во втором уравнении. Мы можем подставить значение $5$ вместо $(2x - y)$ во второе уравнение:$5^2 = 5x + 15$$25 = 5x + 15$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:$5x = 25 - 15$$5x = 10$$x = \frac{10}{5} = 2$

Подставим найденное значение $x = 2$ в упрощенное первое уравнение $2x - y = 5$, чтобы найти $y$:$2(2) - y = 5$$4 - y = 5$$-y = 5 - 4$$-y = 1$$y = -1$

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(2; -1)$.

Ответ: $(2; -1)$.