Номер 1321, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1321, страница 286.

1321. Сколько решений имеет система уравнений

$\left\{\begin{array}{l}x\left(x-2\right)=y+12x\\ xy-5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-12x=y\\ xy=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=x^2-14x\\ y=\frac{5}{x}\end{array}\right.$

$y=x^2-14x$

x	0	-1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	14
y	0	15	-13	-24	-33	-40	-45	-48	-49	-48	-45	-40	-24	0

$y=\frac{5}{x},D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)y=\backslash frac\{5\}\{x\},\; \backslash quad\; D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

x	0,5	1	2	2,5	5	10	-0,5	-1	-2	-2,5	-5	-10
y	10	5	2,5	2	1	0,5	-10	-5	-2,5	-2	-1	-0,5

Ответ: одно решение

Для того чтобы определить количество решений системы уравнений, преобразуем её и решим методом подстановки.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x(x - 2) = y + 12x, \\ xy - 5 = 0 \end{cases} $$

1. Упрощение уравнений системы.
Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x^2 - 2x = y + 12x$
$x^2 - 2x - 12x = y$
$y = x^2 - 14x$

Второе уравнение преобразуем к виду:
$xy = 5$

2. Решение системы методом подстановки.
Из второго уравнения ($xy = 5$) следует, что $x \neq 0$. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:
$y = \frac{5}{x}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое преобразованное уравнение ($y = x^2 - 14x$):
$\frac{5}{x} = x^2 - 14x$

Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):
$5 = x(x^2 - 14x)$
$5 = x^3 - 14x^2$
$x^3 - 14x^2 - 5 = 0$

3. Анализ количества корней полученного уравнения.
Мы получили кубическое уравнение относительно переменной $x$. Количество действительных корней этого уравнения определит количество решений исходной системы. Для анализа количества корней рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 14x^2 - 5$.

Найдём производную этой функции, чтобы определить её точки экстремума (локальные максимумы и минимумы):
$f'(x) = (x^3 - 14x^2 - 5)' = 3x^2 - 28x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$3x^2 - 28x = 0$
$x(3x - 28) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{28}{3}$.

Теперь найдём значения функции $f(x)$ в этих точках, чтобы определить значения локальных экстремумов:
При $x = 0$:
$f(0) = 0^3 - 14(0)^2 - 5 = -5$. Это значение локального максимума.
При $x = \frac{28}{3}$:
$f(\frac{28}{3}) = (\frac{28}{3})^3 - 14(\frac{28}{3})^2 - 5 = (\frac{28}{3})^2(\frac{28}{3} - 14) - 5 = (\frac{784}{9})(\frac{28-42}{3}) - 5 = (\frac{784}{9})(-\frac{14}{3}) - 5 = -\frac{10976}{27} - 5$.
Это значение очевидно отрицательное и является локальным минимумом.

Оба экстремума функции (локальный максимум и локальный минимум) являются отрицательными числами:
$f_{max} = f(0) = -5 < 0$
$f_{min} = f(\frac{28}{3}) < 0$

Поскольку оба локальных экстремума кубической функции $f(x) = x^3 - 14x^2 - 5$ имеют одинаковый (отрицательный) знак, а график функции уходит в $-\infty$ при $x \to -\infty$ и в $+\infty$ при $x \to +\infty$, данная функция пересекает ось абсцисс (где $f(x) = 0$) только один раз.
Следовательно, уравнение $x^3 - 14x^2 - 5 = 0$ имеет ровно один действительный корень.

Каждому действительному значению $x$ соответствует единственное значение $y$ из уравнения $y = \frac{5}{x}$. Так как для $x$ существует только одно действительное решение, то и для пары $(x, y)$ существует только одно решение. Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: 1.