Номер 1314, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1314, страница 286.

1314. Докажите, что графиком уравнения ху – 2х + 3у – 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.

$$\begin{gathered} xy-2x+3y-6=0 \\ x\left(y-2\right)+3\left(y-2\right)=0 \\ \left(y-2\right)\left(x+3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-2=0& \text{ или }& x+3=0\\ y=2& & x=-3\end{array} \end{gathered}$$

Прямые пересекаются в точке (-3;2)

Для того чтобы доказать, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых, необходимо преобразовать данное уравнение. Воспользуемся методом разложения на множители путем группировки слагаемых.

Исходное уравнение:
$xy - 2x + 3y - 6 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:
$(xy - 2x) + (3y - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $x$, а из второй — $3$:
$x(y - 2) + 3(y - 2) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(y - 2)$, который также можно вынести за скобки:
$(x + 3)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x + 3 = 0$ или $y - 2 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:
1. $x + 3 = 0$ можно переписать как $x = -3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $OY$ и проходящую через все точки с абсциссой $-3$.
2. $y - 2 = 0$ можно переписать как $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $OX$ и проходящую через все точки с ординатой $2$.

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух прямых. Поскольку одна прямая вертикальная, а другая — горизонтальная, они перпендикулярны и, следовательно, пересекаются. Точку их пересечения можно найти, решив систему уравнений:
$\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$
Точка пересечения имеет координаты $(-3, 2)$.

Следовательно, мы доказали, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых.

Ответ: Уравнение $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ путем разложения на множители приводится к виду $(x + 3)(y - 2) = 0$. Это уравнение задает две прямые: $x = -3$ и $y = 2$. Так как одна прямая вертикальная, а другая горизонтальная, они пересекаются в точке $(-3, 2)$. Таким образом, утверждение доказано.