Номер 1308, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1308, страница 285.

1308. Докажите, что если а + с = 2b и 2bd = c(b + d), причём b ≠ 0 и d ≠ 0, то ab = cd.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}a+c=2b\\ 2bd=c\left(b+d\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ 2bd=cb+cd\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ 2bd-cd=cb\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ d\left(2b-c\right)=cb\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ d=\frac{cb}{2b-c}\end{array}\right., b\ne 0, d\ne 0 \\ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \\ ad=bc \end{gathered}$$

$\left(2b-c\right)·\frac{bc}{2b-c}=bc,$ что и требовалось доказать

Нам даны два равенства и условия, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

1. $a + c = 2b$

2. $2bd = c(b + d)$

Необходимо доказать, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Так как по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ эквивалентно равенству $ad = bc$ (основное свойство пропорции). Будем доказывать это эквивалентное равенство.

Из первого равенства $a + c = 2b$ выразим переменную $a$:

$a = 2b - c$

Рассмотрим второе данное нам равенство:

$2bd = c(b + d)$

Раскроем скобки в правой части:

$2bd = cb + cd$

Перенесем слагаемое $cd$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$2bd - cd = cb$

В левой части вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(2b - c) = cb$

Теперь подставим в это равенство выражение для $a$, которое мы получили из первого уравнения ($a = 2b - c$):

$d(a) = cb$

$ad = bc$

Мы получили равенство $ad = bc$. Поскольку $b \neq 0$ и $d \neq 0$, мы можем разделить обе части этого равенства на произведение $bd$:

$\frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd}$

Сокращая дроби, получаем:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.