Номер 1312, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1312, страница 285.

1312. Пересекает ли график функции y =3x + 1x прямую:

а) х = 0;

б) у = 0;

в) х = 3;

г) у = 3?

$y=\frac{3x+1}{x}; y=3+\frac{1}{x}y=\backslash frac\{3x+1\}\{x\}\; ;\; y=3+\backslash frac\{1\}\{x\}$

а) х=0 - не пересекает, так как область определения этой функции

$D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

б) у=0

$3+\frac{1}{x}=0; \frac{1}{x}=-3; -3x=1; x=-\frac{1}{3}$ пересекает в точке $\left(-\frac{1}{3}; 0\right)(-\backslash frac\{1\}\{3\};0)$

в) х=3

$y=3+\frac{1}{3}=3\frac{1}{3}y=3+\backslash frac\{1\}\{3\}=3\backslash frac\{1\}\{3\}$ пересекает в точке $\left(3; 3\frac{1}{3}\right)(3;3\backslash frac\{1\}\{3\})$

г) у=3

$3+\frac{1}{x}=3; \frac{1}{x}=03+\backslash frac\{1\}\{x\}=3;\; \backslash frac\{1\}\{x\}=0$ - не пересекает

а) x = 0; Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \frac{3x + 1}{x}$ прямую $x = 0$, необходимо проверить, определена ли функция в точке $x = 0$. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Поскольку функция не определена в точке $x = 0$, ее график не может пересекать прямую $x = 0$ (ось ординат). Эта прямая является вертикальной асимптотой для графика функции.
Ответ: не пересекает.

б) y = 0; Чтобы найти точки пересечения графика функции с прямой $y = 0$ (ось абсцисс), нужно решить уравнение $\frac{3x + 1}{x} = 0$. Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю:
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
При $x = -\frac{1}{3}$ знаменатель не равен нулю, значит, это корень уравнения. Следовательно, график функции пересекает прямую $y = 0$ в точке с координатами $(-\frac{1}{3}; 0)$.
Ответ: пересекает.

в) x = 3; Чтобы проверить, пересекает ли график функции прямую $x = 3$, нужно найти значение функции в этой точке. Подставим $x = 3$ в уравнение функции:
$y = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Поскольку при $x = 3$ функция принимает конкретное значение $y = \frac{10}{3}$, график функции пересекает прямую $x = 3$ в точке с координатами $(3; \frac{10}{3})$.
Ответ: пересекает.

г) y = 3? Чтобы проверить, пересекает ли график функции прямую $y = 3$, нужно решить уравнение $\frac{3x + 1}{x} = 3$.
При условии, что $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:
$3x + 1 = 3x$
Вычтем $3x$ из обеих частей уравнения:
$1 = 0$
Мы получили неверное равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, на графике функции нет точек с ординатой $y = 3$, и график не пересекает прямую $y = 3$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой для графика данной функции.
Ответ: не пересекает.