Номер 1315, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1315, страница 286.

1315. Докажите, что графиком уравнения (у – 2)(у + 3) = 0 является пара параллельных прямых.

$$\begin{gathered} (y-2)(y+3)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-2=0& \text{или}& y+3=0\\ y=0& & y=-3\end{array} \end{gathered}$$

Рассмотрим данное уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$y - 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.

Решим каждое из этих уравнений:
1) Из уравнения $y - 2 = 0$ следует, что $y = 2$.
2) Из уравнения $y + 3 = 0$ следует, что $y = -3$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению, является объединением множеств точек, удовлетворяющих уравнениям $y = 2$ и $y = -3$.

Графиком уравнения $y = c$, где $c$ – постоянная, является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).
Следовательно, $y = 2$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат.
А $y = -3$ – это прямая, также параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -3)$ на оси ординат.

Две прямые, параллельные третьей прямой (в данном случае оси $Ox$), параллельны между собой. Поскольку прямые $y = 2$ и $y = -3$ не совпадают, они образуют пару параллельных прямых.

Альтернативно, можно использовать угловые коэффициенты. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для прямой $y = 2$ уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x + 2$, откуда $k_1 = 0$.
Для прямой $y = -3$ уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x - 3$, откуда $k_2 = 0$.
Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$). Так как $k_1 = k_2 = 0$, а свободные члены $b_1=2$ и $b_2=-3$ различны, прямые параллельны.

Ответ: Уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений $y = 2$ и $y = -3$. Каждое из этих уравнений задаёт на координатной плоскости прямую, параллельную оси $Ox$. Так как эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (равный нулю) и не совпадают, они параллельны друг другу. Таким образом, график исходного уравнения — это пара параллельных прямых.