Страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1314. Докажите, что графиком уравнения ху – 2х + 3у – 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.

$$\begin{gathered} xy-2x+3y-6=0 \\ x\left(y-2\right)+3\left(y-2\right)=0 \\ \left(y-2\right)\left(x+3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-2=0& \text{ или }& x+3=0\\ y=2& & x=-3\end{array} \end{gathered}$$

Прямые пересекаются в точке (-3;2)

Для того чтобы доказать, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых, необходимо преобразовать данное уравнение. Воспользуемся методом разложения на множители путем группировки слагаемых.

Исходное уравнение:
$xy - 2x + 3y - 6 = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:
$(xy - 2x) + (3y - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $x$, а из второй — $3$:
$x(y - 2) + 3(y - 2) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(y - 2)$, который также можно вынести за скобки:
$(x + 3)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x + 3 = 0$ или $y - 2 = 0$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:
1. $x + 3 = 0$ можно переписать как $x = -3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $OY$ и проходящую через все точки с абсциссой $-3$.
2. $y - 2 = 0$ можно переписать как $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $OX$ и проходящую через все точки с ординатой $2$.

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух прямых. Поскольку одна прямая вертикальная, а другая — горизонтальная, они перпендикулярны и, следовательно, пересекаются. Точку их пересечения можно найти, решив систему уравнений:
$\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$
Точка пересечения имеет координаты $(-3, 2)$.

Следовательно, мы доказали, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых.

Ответ: Уравнение $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ путем разложения на множители приводится к виду $(x + 3)(y - 2) = 0$. Это уравнение задает две прямые: $x = -3$ и $y = 2$. Так как одна прямая вертикальная, а другая горизонтальная, они пересекаются в точке $(-3, 2)$. Таким образом, утверждение доказано.

1315. Докажите, что графиком уравнения (у – 2)(у + 3) = 0 является пара параллельных прямых.

$$\begin{gathered} (y-2)(y+3)=0 \\ \begin{array}{lcl}y-2=0& \text{или}& y+3=0\\ y=0& & y=-3\end{array} \end{gathered}$$

Рассмотрим данное уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$y - 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.

Решим каждое из этих уравнений:
1) Из уравнения $y - 2 = 0$ следует, что $y = 2$.
2) Из уравнения $y + 3 = 0$ следует, что $y = -3$.

Таким образом, множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению, является объединением множеств точек, удовлетворяющих уравнениям $y = 2$ и $y = -3$.

Графиком уравнения $y = c$, где $c$ – постоянная, является прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$).
Следовательно, $y = 2$ – это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат.
А $y = -3$ – это прямая, также параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -3)$ на оси ординат.

Две прямые, параллельные третьей прямой (в данном случае оси $Ox$), параллельны между собой. Поскольку прямые $y = 2$ и $y = -3$ не совпадают, они образуют пару параллельных прямых.

Альтернативно, можно использовать угловые коэффициенты. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.
Для прямой $y = 2$ уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x + 2$, откуда $k_1 = 0$.
Для прямой $y = -3$ уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x - 3$, откуда $k_2 = 0$.
Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$). Так как $k_1 = k_2 = 0$, а свободные члены $b_1=2$ и $b_2=-3$ различны, прямые параллельны.

Ответ: Уравнение $(y - 2)(y + 3) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений $y = 2$ и $y = -3$. Каждое из этих уравнений задаёт на координатной плоскости прямую, параллельную оси $Ox$. Так как эти прямые имеют одинаковый угловой коэффициент (равный нулю) и не совпадают, они параллельны друг другу. Таким образом, график исходного уравнения — это пара параллельных прямых.

1316. Постройте график уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}xy+3x=0 \\ x\left(y+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& или& y+3=0\\ & & y=-3\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\left(x-y\right)\left(y-5\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{или}& y-5=0\\ y=x& & y=5\end{array} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\left(xy-6\right)\left(y-3\right)=0 \\ \begin{array}{lcl}xy-6=0& \text{или}& y-3=0\\ xy=6& & y=3\\ y=\frac{6}{x}& & \end{array} \end{gathered}$$

г) ${\left(x-y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=0$

Сумма квадратов двух выражений равна 0 тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{и}& x-1=0\\ y=x& & x=1\end{array} \\ \left\{\begin{array}{c}y=x\\ x=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=1\\ x=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}{x}^2-4=0 \\ {x}^2=4 \\ x=2 \text{или} x=-2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}{y}^2-9=0 \\ {y}^2=9 \\ y=3 \text{или} y=-3 \end{gathered}$$

а) $xy + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$x = 0$ или $y + 3 = 0$

Из второго уравнения получаем $y = -3$.

Графиком уравнения $x = 0$ является ось ординат (ось $Oy$).

Графиком уравнения $y = -3$ является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, -3)$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: ось $Oy$ ($x=0$) и прямая $y=-3$.

б) $(x - y)(y - 5) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$x - y = 0$ или $y - 5 = 0$

Из первого уравнения получаем $y = x$.

Из второго уравнения получаем $y = 5$.

Графиком уравнения $y = x$ является прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов.

Графиком уравнения $y = 5$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 5)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых: $y=x$ и $y=5$.

в) $(xy - 6)(y - 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение распадается на два:

$xy - 6 = 0$ или $y - 3 = 0$

Из первого уравнения получаем $xy = 6$, что можно записать как $y = \frac{6}{x}$ (при $x \neq 0$).

Из второго уравнения получаем $y = 3$.

Графиком уравнения $y = \frac{6}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами гиперболы являются оси координат.

Графиком уравнения $y = 3$ является прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 3)$.

График исходного уравнения представляет собой объединение гиперболы и прямой.

Ответ: Графиком уравнения является объединение гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y=3$.

г) $(x - y)^2 + (x - 1)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$ и $(x - 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Из первого уравнения системы находим $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Подставив $x = 1$ в уравнение $x = y$, получаем $y = 1$.

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(1, 1)$. Графиком является одна точка.

Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(1, 1)$.

д) $x^2 - 4 = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^2 = 4$.

Решениями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.

Уравнение $x = 2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ параллельно оси $Oy$.

Уравнение $x = -2$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, проходящую через точку $(-2, 0)$ параллельно оси $Oy$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x=2$ и $x=-2$.

е) $y^2 - 9 = 0$

Перепишем уравнение в виде $y^2 = 9$.

Решениями этого уравнения являются $y = 3$ и $y = -3$.

Уравнение $y = 3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, 3)$ параллельно оси $Ox$.

Уравнение $y = -3$ задает на координатной плоскости горизонтальную прямую, проходящую через точку $(0, -3)$ параллельно оси $Ox$.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $y=3$ и $y=-3$.

1317. Докажите, что если числа а, b и c таковы, что а + b ≠ 0, b + c ≠ 0, c + a ≠ 0, то при верно равенство

(1 + х)(1 + у)(1 + z) = (1 – х)(1 – у)(1 – z).

$$\begin{gathered} a+b\ne 0, b+c\ne 0, c+a\ne 0 \\ x=\frac{a-b}{a+b}, y=\frac{b-c}{b+c}, z=\frac{c-a}{c+a} \\ \left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right) \\ \left(1+\frac{a-b}{a+b}\right)\left(1+\frac{b-c}{b+c}\right)\left(1+\frac{c-a}{c+a}\right)= \\ =\left(1-\frac{a-b}{a+b}\right)\left(1-\frac{b-c}{b+c}\right)\left(1-\frac{c-a}{c+a}\right) \\ \frac{a+b+a-b}{a+b}·\frac{b+c+b-c}{b+c}·\frac{c+a+c-a}{c+a}= \\ =\frac{a+b-a+b}{a+b}·\frac{b+c-b+c}{b+c}·\frac{c+a-c+a}{c+a} \\ \frac{2a}{a+b}·\frac{2b}{b+c}·\frac{2c}{c+a}=\frac{2b}{a+b}·\frac{2c}{b+c}·\frac{2a}{c+a} \\ \frac{2a·2b·2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{2a·2b·2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}, \end{gathered}$$

что и требовалось доказать

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определения $x$, $y$ и $z$. Условия $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$, $c+a \neq 0$ гарантируют, что знаменатели в выражениях для $x, y, z$ не равны нулю.

1. Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ): $(1 + x)(1 + y)(1 + z)$
Сначала вычислим каждый множитель в отдельности:
$1 + x = 1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b) + (a - b)}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$
$1 + y = 1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{(b + c) + (b - c)}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$
$1 + z = 1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{(c + a) + (c - a)}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти левую часть:
ЛЧ = $(1 + x)(1 + y)(1 + z) = \frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

2. Преобразуем правую часть равенства (ПЧ): $(1 - x)(1 - y)(1 - z)$
Аналогично, вычислим каждый множитель:
$1 - x = 1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b) - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$
$1 - y = 1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{(b + c) - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$
$1 - z = 1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{(c + a) - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти правую часть:
ПЧ = $(1 - x)(1 - y)(1 - z) = \frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8bca}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

3. Сравнение результатов
Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны:
ЛЧ = $\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$
ПЧ = $\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$
Следовательно, ЛЧ = ПЧ, и исходное равенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

1318. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Пусть на плоскости отмечено x точек. Так как через каждые две точки проверено одна прямая, то (x-1) прямых проверено. Так как AB и BA, CD и DC и т.д. одна прямая, то составим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x\left(x-1\right)}{2}=45 \\ x\left(x-1\right)=90 \\ {x}^2-x-90=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-90\right)=1+360=361 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{1\pm 19}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-9<0$ - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10 точек

Пусть на плоскости отмечено $n$ точек. По условию, никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет уникальную прямую. Таким образом, задача сводится к нахождению количества сочетаний из $n$ точек по 2, что и будет равно количеству прямых.

Количество прямых, которые можно провести через $n$ точек, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Из условия известно, что всего проведено 45 прямых. Составим уравнение на основе этой информации: $\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 90$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $n^2 - n = 90$ $n^2 - n - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно решить его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$ $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $n$ — это количество точек, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 10$.

Проверим: если на плоскости 10 точек, то количество прямых равно $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10.

1319. Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?

Пусть $a^3=b^{2}a^3=b^2$, где $a\mathrm{\ne }ba\; \backslash neq\; b$, тогда получим пары чисел, которые могут стереться

Добавим одно число, которое останется.

Пусть это будет 1

Ответ: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 343, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375

Анализ задачи и стратегии

По условию, имеется 27 карточек с различными целыми числами. Для каждого числа $x$ с карточки на доску записывается либо его квадрат $x^2$, либо его куб $x^3$. Если на доске записывается число, которое там уже присутствует, оба одинаковых числа стираются. Цель — найти такой исходный набор из 27 чисел, чтобы в итоге на доске осталось наименьшее возможное количество чисел.

Каждая запись числа на доску — это одна операция. Всего выполняется 27 операций. Если на доску записывается число, которого там еще нет, общее количество чисел на доске увеличивается на 1. Если записывается число, которое уже есть, то оно и уже имеющееся стираются. Эффективно, каждое такое "сокращение" уменьшает итоговое количество чисел на 2 по сравнению с ситуацией, где все числа были бы разными.

Пусть $C$ — это количество пар одинаковых чисел, которые были записаны на доску (количество сокращений). Тогда итоговое количество чисел на доске будет равно $27 - 2C$. Чтобы минимизировать это значение, нужно максимизировать $C$.

Поскольку у нас 27 операций, мы можем сформировать не более $\lfloor \frac{27}{2} \rfloor = 13$ пар одинаковых чисел. Одно число останется без пары. Таким образом, максимальное возможное число сокращений $C_{max} = 13$.

При $C=13$ минимальное количество чисел на доске будет $27 - 2 \times 13 = 1$. Следовательно, меньше одного числа на доске остаться не может. Наша задача — привести пример набора из 27 чисел, для которого можно добиться такого результата.

Построение примера

Чтобы произошло сокращение, два ученика с разными исходными числами $a$ и $b$ ($a \neq b$) должны записать на доску одно и то же значение. Рассмотрим, как это возможно:

• $a^2 = b^2 \implies a = -b$. Пара исходных чисел $(a, -a)$ позволяет получить два одинаковых числа $a^2$ на доске, которые сократятся.
• $a^3 = b^3 \implies a = b$. Этот случай не подходит, так как исходные числа различны.
• $a^2 = b^3$. Это равенство возможно, если $b$ — полный квадрат, а $a$ — полный куб. Например, если $b=k^2$, то $a^2 = (k^2)^3 = k^6$, откуда $a=\pm k^3$. Пара чисел $(k^2, \pm k^3)$ также может привести к сокращению, если записать $(k^2)^3$ и $(\pm k^3)^2$, оба равны $k^6$.

Наиболее простой способ — использовать пары вида $(a, -a)$. Мы можем сформировать 13 групп чисел, которые в сумме дадут 13 сокращений.

Сформируем 12 пар вида $(a, -a)$, где $a$ принимает значения от 2 до 13. Это пары: $(\pm 2), (\pm 3), \dots, (\pm 13)$. Всего эти пары включают $12 \times 2 = 24$ различных целых числа. Для каждой пары $(a, -a)$ ученики записывают на доску $a^2$ и $(-a)^2$. Так как $a^2 = (-a)^2$, эти числа взаимно уничтожаются. В результате 24 исходных числа не оставят на доске ни одного числа.

Осталось выбрать $27 - 24 = 3$ числа. Эти числа должны быть отличны от уже выбранных и в результате своих операций оставить на доске ровно одно число. Такая тройка чисел и будет составлять 13-ю группу, которая оставит одно непарное число.

Рассмотрим тройку чисел $\{0, 1, -1\}$. Эти числа не входят в ранее составленный набор. Выполним операции для этой тройки:

1. Ученик с числом $1$ пишет на доске $1^2 = 1$.
2. Ученик с числом $-1$ пишет на доске $(-1)^2 = 1$. Это число совпадает с уже имеющимся, поэтому оба числа стираются.
3. Ученик с числом $0$ пишет на доске $0^2 = 0$.

В результате этих трех операций на доске остается одно число — $0$. Пара $(1, -1)$ дала 13-е сокращение.

Объединив все числа, мы получаем искомый набор, который позволяет оставить на доске минимально возможное количество чисел (одно).

Ответ: Примером исходного набора из 27 различных целых чисел, для которого на доске в итоге останется наименьшее возможное количество чисел, является следующий набор: $\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6, 7, -7, 8, -8, 9, -9, 10, -10, 11, -11, 12, -12, 13, -13\}$. При правильном выборе действий (для пар $(\pm a)$ выбирать квадраты, для тройки $\{0,1,-1\}$ — квадраты для $1$ и $-1$ и любую степень для $0$) на доске останется одно число: $0$.

1320. Докажите тождество

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{a^2+6ab+25b^2}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a^2+10ab+25b^2-4ab}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{\frac{{\left(a+5b\right)}^2-4ab}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{\frac{\left(a+5b-2\sqrt{ab}\right)\left(a+5b+2\sqrt{ab}\right)}{a-2\sqrt{ab}+5b}-4b}= \\ =\sqrt{a+5b+2\sqrt{ab}-4b}=\sqrt{a+2\sqrt{ab}+b}= \end{gathered}$$
$=\sqrt{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}=\mathrm{\mid }\sqrt{a}+\sqrt{b}\mathrm{\mid }=\sqrt{a}+\sqrt{b},$ что и требовалось доказать

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть (ЛЧ), чтобы показать, что она равна правой части (ПЧ).

ЛЧ = $\sqrt{\frac{a^2 + 6ab + 25b^2}{a - 2\sqrt{ab} + 5b} - 4b}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования корней $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ необходимо, чтобы $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Знаменатель дроби $a - 2\sqrt{ab} + 5b$ не должен быть равен нулю. Преобразуем знаменатель: $a - 2\sqrt{ab} + 5b = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 + 4b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + 4b$. Это выражение обращается в ноль только при одновременном выполнении условий $\sqrt{b}=0$ и $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$, то есть при $a=0$ и $b=0$. Таким образом, тождество определено для всех $a \ge 0, b \ge 0$, за исключением случая, когда $a$ и $b$ равны нулю одновременно.

Теперь преобразуем выражение под внешним корнем. Начнем с числителя дроби $a^2 + 6ab + 25b^2$. Представим его в виде разности квадратов:

$a^2 + 6ab + 25b^2 = (a^2 + 10ab + 25b^2) - 4ab = (a+5b)^2 - (2\sqrt{ab})^2$

Применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получим:

$(a+5b)^2 - (2\sqrt{ab})^2 = (a+5b - 2\sqrt{ab})(a+5b + 2\sqrt{ab})$

Подставим полученное выражение в дробь и перегруппируем слагаемые:

$\frac{(a - 2\sqrt{ab} + 5b)(a + 2\sqrt{ab} + 5b)}{a - 2\sqrt{ab} + 5b}$

Поскольку в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем сократить дробь на множитель $(a - 2\sqrt{ab} + 5b)$:

$a + 2\sqrt{ab} + 5b$

Теперь вернемся к исходному выражению для ЛЧ, подставив в него упрощенную дробь:

ЛЧ = $\sqrt{(a + 2\sqrt{ab} + 5b) - 4b}$

Упростим выражение под корнем:

ЛЧ = $\sqrt{a + 2\sqrt{ab} + b}$

Выражение под корнем является формулой полного квадрата суммы:

$a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

ЛЧ = $\sqrt{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Так как по ОДЗ $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$, а значит их сумма $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0$. Поэтому корень из квадрата равен самому подкоренному выражению:

ЛЧ = $|\sqrt{a} + \sqrt{b}| = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна правой: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть была приведена к виду правой части.

1321. Сколько решений имеет система уравнений

$\left\{\begin{array}{l}x\left(x-2\right)=y+12x\\ xy-5=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-12x=y\\ xy=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=x^2-14x\\ y=\frac{5}{x}\end{array}\right.$

$y=x^2-14x$

$y=\frac{5}{x},D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)y=\backslash frac\{5\}\{x\},\; \backslash quad\; D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

Ответ: одно решение

Для того чтобы определить количество решений системы уравнений, преобразуем её и решим методом подстановки.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} x(x - 2) = y + 12x, \\ xy - 5 = 0 \end{cases} $$

1. Упрощение уравнений системы.
Сначала упростим первое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$x^2 - 2x = y + 12x$
$x^2 - 2x - 12x = y$
$y = x^2 - 14x$

Второе уравнение преобразуем к виду:
$xy = 5$

2. Решение системы методом подстановки.
Из второго уравнения ($xy = 5$) следует, что $x \neq 0$. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:
$y = \frac{5}{x}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое преобразованное уравнение ($y = x^2 - 14x$):
$\frac{5}{x} = x^2 - 14x$

Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):
$5 = x(x^2 - 14x)$
$5 = x^3 - 14x^2$
$x^3 - 14x^2 - 5 = 0$

3. Анализ количества корней полученного уравнения.
Мы получили кубическое уравнение относительно переменной $x$. Количество действительных корней этого уравнения определит количество решений исходной системы. Для анализа количества корней рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 14x^2 - 5$.

Найдём производную этой функции, чтобы определить её точки экстремума (локальные максимумы и минимумы):
$f'(x) = (x^3 - 14x^2 - 5)' = 3x^2 - 28x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$3x^2 - 28x = 0$
$x(3x - 28) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{28}{3}$.

Теперь найдём значения функции $f(x)$ в этих точках, чтобы определить значения локальных экстремумов:
При $x = 0$:
$f(0) = 0^3 - 14(0)^2 - 5 = -5$. Это значение локального максимума.
При $x = \frac{28}{3}$:
$f(\frac{28}{3}) = (\frac{28}{3})^3 - 14(\frac{28}{3})^2 - 5 = (\frac{28}{3})^2(\frac{28}{3} - 14) - 5 = (\frac{784}{9})(\frac{28-42}{3}) - 5 = (\frac{784}{9})(-\frac{14}{3}) - 5 = -\frac{10976}{27} - 5$.
Это значение очевидно отрицательное и является локальным минимумом.

Оба экстремума функции (локальный максимум и локальный минимум) являются отрицательными числами:
$f_{max} = f(0) = -5 < 0$
$f_{min} = f(\frac{28}{3}) < 0$

Поскольку оба локальных экстремума кубической функции $f(x) = x^3 - 14x^2 - 5$ имеют одинаковый (отрицательный) знак, а график функции уходит в $-\infty$ при $x \to -\infty$ и в $+\infty$ при $x \to +\infty$, данная функция пересекает ось абсцисс (где $f(x) = 0$) только один раз.
Следовательно, уравнение $x^3 - 14x^2 - 5 = 0$ имеет ровно один действительный корень.

Каждому действительному значению $x$ соответствует единственное значение $y$ из уравнения $y = \frac{5}{x}$. Так как для $x$ существует только одно действительное решение, то и для пары $(x, y)$ существует только одно решение. Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: 1.

1322. Докажите, что система уравнений не имеет решений:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=0,09\\ y=x^2+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x^2+1\right)}^2=0,09\\ y=x^2+1\end{array}\right. \\ {x}^2+{\left(x^2+1\right)}^2=0,09 \\ {x}^2+x^4+2x^2+1-0,09=0 \\ {x}^4+3x^2+0,91=0 \\ {x}^2=t, t\ge 0 \\ {t}^2+3t+0,91=0 \\ D=9-4·1·0,91=9-3,64=5,36 \\ t=\frac{-3\pm \sqrt{5,36}}{2} \\ {t}_1=\frac{-3+\sqrt{5,36}}{2}\approx \frac{-3+2,3}{2}=\frac{-0,7}{2}<0 \\ {t}_2=\frac{-3-\sqrt{5,36}}{2}<0 \end{gathered}$$

Следовательно, система не имеет решений

$\mathbf{\text{б) }}\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ y+x^2=-2\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ x^2+5+x^2=-2\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ 2x^2=-7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x^2+5\\ x^2=-3,5 - \text{нет корней}\end{array}\right.$

Следовательно, система не имеет решений

a)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 0.09 \\y = x^2 + 1\end{cases}$

Проанализируем второе уравнение системы: $y = x^2 + 1$.

Поскольку $x^2$ является квадратом действительного числа, его значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, для любого действительного значения $x$, значение $y$ будет не меньше 1:

$y = x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Таким образом, из второго уравнения следует, что $y \ge 1$.

Теперь проанализируем первое уравнение: $x^2 + y^2 = 0.09$.

Из этого уравнения следует, что $y^2 \le 0.09$, так как $x^2 \ge 0$. Если $y^2 \le 0.09$, то $|y| \le \sqrt{0.09}$, что означает $|y| \le 0.3$. Это неравенство равносильно $-0.3 \le y \le 0.3$.

Итак, мы получили два противоречащих друг другу условия для переменной $y$:

1. Из второго уравнения: $y \ge 1$.
2. Из первого уравнения: $y \le 0.3$.

Не существует числа, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 0.3. Следовательно, система уравнений не имеет действительных решений, что и требовалось доказать.

Ответ: Система не имеет решений.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases}y = x^2 + 5 \\y + x^2 = -2\end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(x^2 + 5) + x^2 = -2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 5 = -2$

Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$2x^2 = -2 - 5$

$2x^2 = -7$

$x^2 = -3.5$

Полученное уравнение $x^2 = -3.5$ не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Так как не существует действительного значения $x$, удовлетворяющего системе, то и вся система не имеет решений, что и требовалось доказать.

Ответ: Система не имеет решений.