Номер 1318, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1318, страница 286.

1318. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Пусть на плоскости отмечено x точек. Так как через каждые две точки проверено одна прямая, то (x-1) прямых проверено. Так как AB и BA, CD и DC и т.д. одна прямая, то составим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{x\left(x-1\right)}{2}=45 \\ x\left(x-1\right)=90 \\ {x}^2-x-90=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-90\right)=1+360=361 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{361}}{2}; x=\frac{1\pm 19}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-9<0$ - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10 точек

Пусть на плоскости отмечено $n$ точек. По условию, никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет уникальную прямую. Таким образом, задача сводится к нахождению количества сочетаний из $n$ точек по 2, что и будет равно количеству прямых.

Количество прямых, которые можно провести через $n$ точек, вычисляется по формуле числа сочетаний: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Из условия известно, что всего проведено 45 прямых. Составим уравнение на основе этой информации: $\frac{n(n-1)}{2} = 45$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 90$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $n^2 - n = 90$ $n^2 - n - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно решить его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$ $\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $n$ — это количество точек, оно не может быть отрицательным числом. Следовательно, корень $n_2 = -9$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 10$.

Проверим: если на плоскости 10 точек, то количество прямых равно $\frac{10 \cdot (10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10.