Номер 1317, страница 286 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1317, страница 286.

1317. Докажите, что если числа а, b и c таковы, что а + b ≠ 0, b + c ≠ 0, c + a ≠ 0, то при верно равенство

(1 + х)(1 + у)(1 + z) = (1 – х)(1 – у)(1 – z).

$$\begin{gathered} a+b\ne 0, b+c\ne 0, c+a\ne 0 \\ x=\frac{a-b}{a+b}, y=\frac{b-c}{b+c}, z=\frac{c-a}{c+a} \\ \left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right) \\ \left(1+\frac{a-b}{a+b}\right)\left(1+\frac{b-c}{b+c}\right)\left(1+\frac{c-a}{c+a}\right)= \\ =\left(1-\frac{a-b}{a+b}\right)\left(1-\frac{b-c}{b+c}\right)\left(1-\frac{c-a}{c+a}\right) \\ \frac{a+b+a-b}{a+b}·\frac{b+c+b-c}{b+c}·\frac{c+a+c-a}{c+a}= \\ =\frac{a+b-a+b}{a+b}·\frac{b+c-b+c}{b+c}·\frac{c+a-c+a}{c+a} \\ \frac{2a}{a+b}·\frac{2b}{b+c}·\frac{2c}{c+a}=\frac{2b}{a+b}·\frac{2c}{b+c}·\frac{2a}{c+a} \\ \frac{2a·2b·2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{2a·2b·2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}, \end{gathered}$$

что и требовалось доказать

Для доказательства данного равенства необходимо преобразовать его левую и правую части, используя определения $x$, $y$ и $z$. Условия $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$, $c+a \neq 0$ гарантируют, что знаменатели в выражениях для $x, y, z$ не равны нулю.

1. Преобразуем левую часть равенства (ЛЧ): $(1 + x)(1 + y)(1 + z)$
Сначала вычислим каждый множитель в отдельности:
$1 + x = 1 + \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b) + (a - b)}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$
$1 + y = 1 + \frac{b - c}{b + c} = \frac{(b + c) + (b - c)}{b + c} = \frac{2b}{b + c}$
$1 + z = 1 + \frac{c - a}{c + a} = \frac{(c + a) + (c - a)}{c + a} = \frac{2c}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти левую часть:
ЛЧ = $(1 + x)(1 + y)(1 + z) = \frac{2a}{a + b} \cdot \frac{2b}{b + c} \cdot \frac{2c}{c + a} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

2. Преобразуем правую часть равенства (ПЧ): $(1 - x)(1 - y)(1 - z)$
Аналогично, вычислим каждый множитель:
$1 - x = 1 - \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a + b) - (a - b)}{a + b} = \frac{a + b - a + b}{a + b} = \frac{2b}{a + b}$
$1 - y = 1 - \frac{b - c}{b + c} = \frac{(b + c) - (b - c)}{b + c} = \frac{b + c - b + c}{b + c} = \frac{2c}{b + c}$
$1 - z = 1 - \frac{c - a}{c + a} = \frac{(c + a) - (c - a)}{c + a} = \frac{c + a - c + a}{c + a} = \frac{2a}{c + a}$

Теперь перемножим полученные выражения, чтобы найти правую часть:
ПЧ = $(1 - x)(1 - y)(1 - z) = \frac{2b}{a + b} \cdot \frac{2c}{b + c} \cdot \frac{2a}{c + a} = \frac{8bca}{(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$

3. Сравнение результатов
Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны:
ЛЧ = $\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$
ПЧ = $\frac{8abc}{(a + b)(b + c)(c + a)}$
Следовательно, ЛЧ = ПЧ, и исходное равенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.