Номер 1311, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1311, страница 285.

1311. Постройте график функции, заданной формулой y = x + 1x.

$$\begin{gathered} y=x+\frac{1}{x}y=x+\backslash frac\{1\}\{x\} \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty) \end{gathered}$$

x	12	14	1	2	4	5	6	-12	-14	-1	-2	-4	-5	-6
y	2,5	4,25	2	2,5	4,25	5,2	616	-2,5	-4,25	-2	-2,5	-4,25	-5,2	-616

Для построения графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции.

Функция содержит в знаменателе переменную $x$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты.
В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Найдем пределы слева и справа от этой точки:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$.
Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Будем искать асимптоту в виде прямой $y = kx + b$.
Коэффициент $k$ находится по формуле: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$.
Коэффициент $b$ находится по формуле: $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Таким образом, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой для графика функции.

4. Производная, экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем первую производную функции:
$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$\frac{x^2-1}{x^2} = 0 \implies x^2-1=0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва делят область определения: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.
- На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ производная $y' < 0$, значит, функция убывает.
Точка $x=1$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке: $y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Точка минимума: $(1, 2)$.
Точка $x=-1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$. Точка максимума: $(-1, -2)$.

5. Построение графика.

Сведем полученные данные воедино. График имеет две ветви. Одна расположена в первом координатном квадранте, проходит через точку минимума $(1, 2)$ и асимптотически приближается к оси $Oy$ при $x \to 0^+$ и к прямой $y=x$ при $x \to +\infty$. Вторая ветвь, симметричная первой относительно начала координат, расположена в третьем квадранте, проходит через точку максимума $(-1, -2)$ и асимптотически приближается к оси $Oy$ при $x \to 0^-$ и к прямой $y=x$ при $x \to -\infty$. График не пересекает оси координат.

Для большей точности построения найдем несколько дополнительных точек:
Если $x=2$, то $y=2+\frac{1}{2}=2.5$. Точка $(2, 2.5)$.
Если $x=0.5$, то $y=0.5+\frac{1}{0.5}=2.5$. Точка $(0.5, 2.5)$.
Симметричные им точки: $(-2, -2.5)$ и $(-0.5, -2.5)$.

Изобразим график функции:

Ответ:

График функции $y = x + \frac{1}{x}$ построен. Он представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первой координатной четверти, имеет локальный минимум в точке $(1, 2)$. Вторая ветвь находится в третьей координатной четверти, имеет локальный максимум в точке $(-1, -2)$. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось $Oy$) и наклонную $y=x$. График представлен на рисунке выше.