Номер 1304, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1304, страница 285.

1304. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Пусть x ч потребуется второму слесарю для выполнения задания, тогда (х+7)ч потребуется первому слесарю. Примем всё задание за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - скорость (производительность) выполнения задания вторым слесарем, а $\frac{1}{x+7}\backslash frac\{1\}\{x+7\}$ скорость первого слесаря. $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+7}=\frac{x+7+x}{x\left(x+7\right)}=\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{x+7\}=\backslash frac\{x+7+x\}\{x(x+7)\}=\backslash frac\{2x+7\}\{x(x+7)\}$ - общая скорость. Зная, что они вместе выполнили только $\frac{1}{2}$ задания, найдём, сколько времени они потратили: $\frac{1}{2}:\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}=\frac{x\left(x+7\right)}{2\left(2x+7\right)}\text{(ч)}$

Известно, что вторую половину задания выполнял второй слесарь, тогда $\frac{1}{2}:\frac{1}{x}=\frac{x}{2}\text{(ч)}$ он потратил на его выполнение. Найдём, сколько времени потратили на выполнение всего задания слесари, если бы выполняли его вместе: $1:\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}=\frac{x\left(x+7\right)}{2x+7}\text{(ч).}$

Зная, что, если бы они выполняли всю работу вместе, то времени бы было потрачено на 4,5ч меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{x\left(x+7\right)}{2x+7}+4,5=\frac{x\left(x+7\right)}{2\left(2x+7\right)}+\frac{x}{2} \\ \frac{x\left(x+7\right)+4,5\left(2x+7\right)}{2x+7}=\frac{x^2+7x+x\left(2x+7\right)}{2\left(2x+7\right)} \\ \frac{\left(x^2+7x+9x+31,5\right)·2}{2\left(2x+7\right)}= \\ =\frac{x^2+7x+2x^2+7x}{2\left(2x+7\right)} /·2(2x+7) \\ \left(x^2+16x+31,5\right)·2=3x^2+14x \\ 3x^2+14x=2x^2+32x+63 \\ 3x^2-2x^2+142-32x-63=0 \\ {x}^2-18x-63=0 \\ D={(-18)}^2-4·1·(-63)=324+252-576 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{576}}{2}; x=\frac{18\pm 24}{2} \end{gathered}$$

$x_1=21; x_2=-3<0$ - не удовлетворяет условию задачи

21+7=28(ч)

Ответ: 28ч и 21ч

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй слесарь может выполнить все задание, работая в одиночку. Согласно условию, первому слесарю для выполнения всего задания потребуется на 7 часов больше, то есть $(x+7)$ часов.

Тогда производительность труда (часть задания, выполняемая за 1 час) для второго слесаря составляет $\frac{1}{x}$, а для первого — $\frac{1}{x+7}$.

Когда они работают вместе, их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $v_{вместе} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+7} = \frac{x+7+x}{x(x+7)} = \frac{2x+7}{x(x+7)}$ задания/час.

Рассчитаем время, которое потребовалось бы слесарям, если бы они выполняли всю работу вместе. $T_{вместе} = \frac{1}{v_{вместе}} = \frac{x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Теперь рассмотрим фактический сценарий. Сначала оба слесаря выполнили половину задания ($0,5$ от всего объема). Время, затраченное на этот этап: $T_1 = \frac{0,5}{v_{вместе}} = \frac{0,5 \cdot x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Оставшуюся половину задания ($0,5$ от объема) заканчивал один второй слесарь. Время, затраченное на этот этап: $T_2 = \frac{0,5}{v_2} = \frac{0,5}{1/x} = 0,5x$ часов.

Общее время, затраченное на выполнение задания в реальности, равно сумме $T_1$ и $T_2$: $T_{факт} = T_1 + T_2 = \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 0,5x$.

По условию задачи, фактическое время выполнения оказалось на 4,5 часа больше, чем если бы они всю работу выполнили вместе: $T_{факт} = T_{вместе} + 4,5$
$\frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 0,5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 4,5$

Для решения уравнения вычтем из обеих частей $\frac{0,5x(x+7)}{2x+7}$:
$0,5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} - \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 4,5$
$0,5x = \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 4,5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 9$
$x - 9 = \frac{x^2+7x}{2x+7}$

Умножим обе части на $(2x+7)$, так как $x>0$, то знаменатель не равен нулю:
$(x - 9)(2x + 7) = x^2 + 7x$
$2x^2 + 7x - 18x - 63 = x^2 + 7x$
$2x^2 - 11x - 63 = x^2 + 7x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 - 11x - 7x - 63 = 0$
$x^2 - 18x - 63 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 24}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 24}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое второй слесарь выполняет задание в одиночку, равно 21 часу.

Время выполнения задания первым слесарем: $x + 7 = 21 + 7 = 28$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 28 часов, а второй — за 21 час.