Номер 1307, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1307, страница 285.

1307. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго — 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км?

Пусть через t ч расстояние между пешеходами будет равно 25км, тогда (7+4t)км пройдёт первый, а (10+5t)км пройдёт второй пешеход.

Зная, что они идут по двум взаимно перпендикулярным дорогам, составим и решим уравнение по теореме Пифагора

$$\begin{gathered} (7+4t{)}^2+(10+5t{)}^2={25}^2 \\ 49+56t+16t^2+100+100t+25t^2=625 \\ 41t^2+156t+149-625=0 \\ 41t^2+156t-476=0 \\ 41t^2+2·78t-476=0 \\ {D}_1={78}^4-41·(-476)=6084+19516=25600 \\ t=\frac{-78\pm \sqrt{25600}}{41}; t=\frac{-78\pm 160}{41} \end{gathered}$$

$t_1=2 \text{или} t_2=\frac{-238}{41}<0$ - не удовлетворяет условию задачи t>0

Ответ: через 2ч

Пусть город находится в начале координат $O(0, 0)$. Поскольку дороги взаимно перпендикулярны, их можно представить как оси координат. Пусть первый пешеход движется по одной оси (например, Ox), а второй — по другой (Oy).

Пусть $t$ — искомое время в часах, которое пройдет с текущего момента.

Через время $t$ первый пешеход, который движется со скоростью $v_1 = 4$ км/ч и сейчас находится в 7 км от города, будет на расстоянии $d_1(t) = 7 + 4t$ км от города. Это будет его координата по одной из осей.

Через время $t$ второй пешеход, который движется со скоростью $v_2 = 5$ км/ч и сейчас находится в 10 км от города, будет на расстоянии $d_2(t) = 10 + 5t$ км от города. Это будет его координата по другой оси.

Поскольку пешеходы движутся по перпендикулярным дорогам, их положения относительно города образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними $D$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: $D(t)^2 = d_1(t)^2 + d_2(t)^2$

Мы ищем время $t$, когда расстояние между пешеходами будет равно 25 км. Подставим известные значения в уравнение: $25^2 = (7 + 4t)^2 + (10 + 5t)^2$

Выполним вычисления и раскроем скобки: $625 = (7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 4t + (4t)^2) + (10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5t + (5t)^2)$ $625 = (49 + 56t + 16t^2) + (100 + 100t + 25t^2)$

Соберем все слагаемые и приведем подобные: $625 = (16t^2 + 25t^2) + (56t + 100t) + (49 + 100)$ $625 = 41t^2 + 156t + 149$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$: $41t^2 + 156t + 149 - 625 = 0$ $41t^2 + 156t - 476 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = 156^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-476) = 24336 + 78064 = 102400$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$: $t = \frac{-156 \pm \sqrt{102400}}{2 \cdot 41} = \frac{-156 \pm 320}{82}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-156 + 320}{82} = \frac{164}{82} = 2$ $t_2 = \frac{-156 - 320}{82} = \frac{-476}{82}$

Поскольку время $t$ в контексте задачи не может быть отрицательным, второй корень не является решением. Таким образом, подходящее значение времени $t = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа.