Номер 1303, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1303, страница 285.

1303. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 713 ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?

Пусть x ч - время выполнения всей работы первым самосвалом, тогда (x+3)ч - время выполнения всей работы вторым самосвалом. Примем всю работу за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - скорость (производительность) первого самосвала, $\frac{1}{x+3}\backslash frac\{1\}\{x+3\}$ - производительность второго самосвала. Так как первый самосвал выполнил $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ работы со скоростью $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$, то время, потраченное на выполнение этой работы равно $\frac{1}{3}:\frac{1}{x}=\frac{x}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}\; :\; \backslash frac\{1\}\{x\}=\backslash frac\{x\}\{3\}$(ч). Значит, оставшуюся часть работы $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}1\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{2\}\{3\}$ выполнит второй самосвал со скоростью $\frac{1}{x+3}\backslash frac\{1\}\{x+3\}$ и потратит времени $\frac{2}{3}:\frac{1}{x+3}=\frac{2\left(x+3\right)}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}\; :\; \backslash frac\{1\}\{x+3\}=\backslash frac\{2(x+3)\}\{3\}$(ч). Зная, что время $\left(\frac{x}{3}+\frac{2\left(x+3\right)}{3}\right)(\backslash frac\{x\}\{3\}+\backslash frac\{2(x+3)\}\{3\})$ на $7\frac{1}{3}7\backslash frac\{1\}\{3\}$ ч больше, чем время при одновременной работе двух самосвалов, найдем время одновременной работы двух самосвалов и составим уравнение

$$\begin{gathered} 1:\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1:\frac{x+3+x}{x\left(x+3\right)}=1:\frac{2x+3}{x\left(x+3\right)}=\frac{x\left(x+3\right)}{2x+3}\text{ч} \\ \frac{x\left(x+3\right)}{2x+3}+7\frac{1}{3}=\frac{x}{3}+\frac{2\left(x+3\right)}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}+\frac{22}{3}=\frac{x+2x+6}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}=\frac{3x+6}{3}-\frac{22}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}=\frac{3x-16}{3} /·3\left(2x+3\right) \\ 3\left(x^2+3x\right)=\left(3x-16\right)\left(2x+3\right) \\ 3x^2+9x=6x^2+9x-32x-48 \\ 6x^2-23x-3x^2-9x-48=0 \\ 3x^2-32x-48=0 \\ D=(-32{)}^2-4·3·(-48)=1024+576=1600 \\ x=\frac{32\pm \sqrt{1600}}{6}; x=\frac{32\pm 40}{6} \\ {x}_1=12; x_2=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}<0 \end{gathered}$$

12 + 3 = 15 (ч)

Ответ: 12ч и 15ч

Пусть $t_1$ – время в часах, за которое первый самосвал может вывезти всю руду, а $t_2$ – время в часах, за которое второй самосвал может вывезти всю руду.

Примем весь объем работы (всю руду) за 1. Тогда производительность первого самосвала равна $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть руды в час), а производительность второго – $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть руды в час).

Из условия, что первый самосвал вывозит руду на 3 часа быстрее, чем второй, следует первое уравнение:

$t_1 = t_2 - 3$

Рассмотрим время, затраченное на работу в двух разных случаях.

В первом случае (последовательная работа), первый самосвал вывозит треть руды ($\frac{1}{3}$). Время, затраченное на это, составляет $T_{1} = \frac{1/3}{P_1} = \frac{t_1}{3}$ ч. Затем второй самосвал вывозит оставшиеся две трети руды ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$), затратив на это $T_{2} = \frac{2/3}{P_2} = \frac{2t_2}{3}$ ч. Общее время при последовательной работе: $T_{посл} = \frac{t_1}{3} + \frac{2t_2}{3}$.

Во втором случае (одновременная работа), их общая производительность составляет $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. Время, за которое они вывезут всю руду вместе, равно $T_{одновр} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$ ч.

По условию, последовательная работа занимает на $7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ часа больше, чем одновременная. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{t_1}{3} + \frac{2t_2}{3} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} + \frac{22}{3}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_1 = t_2 - 3 \\ \frac{t_1 + 2t_2}{3} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} + \frac{22}{3} \end{cases}$

Подставим $t_1 = t_2 - 3$ во второе уравнение. Для удобства обозначим $t_2 = x$, тогда $t_1 = x - 3$. Поскольку время должно быть положительным, $t_1 > 0$, что означает $x - 3 > 0$, или $x > 3$.

$\frac{(x-3) + 2x}{3} = \frac{(x-3)x}{(x-3)+x} + \frac{22}{3}$

Умножим все уравнение на 3:

$3x - 3 = \frac{3x(x-3)}{2x-3} + 22$

$3x - 25 = \frac{3x^2 - 9x}{2x-3}$

Умножим обе части на $(2x-3)$:

$(3x - 25)(2x - 3) = 3x^2 - 9x$

$6x^2 - 9x - 50x + 75 = 3x^2 - 9x$

$6x^2 - 59x + 75 = 3x^2 - 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 50x + 75 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 75 = 2500 - 900 = 1600 = 40^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 40}{2 \cdot 3} = \frac{50 \pm 40}{6}$

Возможные значения для $x$ (то есть $t_2$):

$x_1 = \frac{50 + 40}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{50 - 40}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Проверим корни. Мы установили, что $x > 3$.

Корень $x_1 = 15$ подходит, так как $15 > 3$.

Корень $x_2 = \frac{5}{3}$ не подходит, так как $\frac{5}{3} < 3$. Этот корень является посторонним, так как привел бы к отрицательному времени для первого самосвала ($t_1 = \frac{5}{3} - 3 = -\frac{4}{3}$).

Таким образом, время работы второго самосвала $t_2 = 15$ часов.

Теперь найдем время работы первого самосвала:

$t_1 = t_2 - 3 = 15 - 3 = 12$ часов.

Ответ: первый самосвал может вывезти всю руду за 12 часов, а второй – за 15 часов.