Номер 1299, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1299, страница 284.

1299. Катер прошёл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывёт плот?

Пусть х км/ч - скорость катера в стоячей воде, у км/ч - скорость течения, тогда (x+y)км/ч - скорость катера по течению,

(x-y)км/ч - скорость катера против течения.

$\frac{90}{x+y}$ч - время, которое шел катер по течению

$\frac{70}{x-y}\backslash frac\{70\}\{x-y\}$ч - время, которое шёл катер против течения

По условию задачи

$$\begin{gathered} \frac{90}{x+y}=\frac{70}{x-y} \\ 90(x-y)=70(x+y) \\ 90x-90y=70x+70y \\ 90x-70x=70y+90y \\ 20x=160y \\ x=8y \\ \frac{90}{8y+y}=\frac{90}{9y}=\frac{10}{y}\text{ч} \\ \frac{70}{8y-y}=\frac{70}{7y}=\frac{10}{y}\text{ч} \\ y=\frac{10}{y}=10\left(\text{км}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 10 км

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде),
• $v_t$ – скорость течения реки,
• $t$ – время, за которое катер прошел 90 км по течению.

Когда катер движется по течению, его скорость равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_k + v_t$.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_k - v_t$.

Плот не имеет собственной скорости и движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_t$.

Используя основную формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим систему уравнений на основе данных из условия задачи:

1. Расстояние, пройденное по течению за время $t$:
$S_{по} = (v_k + v_t) \cdot t = 90$ км.

2. Расстояние, пройденное против течения за то же время $t$:
$S_{против} = (v_k - v_t) \cdot t = 70$ км.

Раскроем скобки в этих уравнениях:

1. $v_k \cdot t + v_t \cdot t = 90$

2. $v_k \cdot t - v_t \cdot t = 70$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Нам необходимо найти расстояние, которое проплывёт плот за время $t$. Это расстояние вычисляется по формуле $S_{плот} = v_t \cdot t$.

Чтобы найти значение выражения $v_t \cdot t$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_k \cdot t + v_t \cdot t) - (v_k \cdot t - v_t \cdot t) = 90 - 70$

Раскрываем скобки в левой части уравнения:

$v_k \cdot t + v_t \cdot t - v_k \cdot t + v_t \cdot t = 20$

Приводим подобные слагаемые:

$2 \cdot (v_t \cdot t) = 20$

Отсюда находим искомое расстояние, которое проплывет плот:

$S_{плот} = v_t \cdot t = \frac{20}{2} = 10$ км.

Таким образом, за то же самое время плот проплывёт 10 км.

Ответ: 10 км.