Номер 1292, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1292, страница 284.

1292. Сумма квадратов корней уравнения х² + рх + 1 = 0 равна 254. Найдите коэффициент р.

$$\begin{gathered} x^2+px+1=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=254 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=254 \end{gathered}$$
${\left(-p\right)}^2-2·1=254$, т.к. по теореме Виета $x_1+x_2=-p, x_1{x}_2=1$
$$\begin{gathered} p^2-2=254 \\ {p}^2=256 \\ p=16\text{ или }p=-16 \end{gathered}$$

Ответ: -16 или 16

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 + px + 1 = 0$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 254. Это можно записать в виде уравнения:
$x_1^2 + x_2^2 = 254$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + Bx + C = 0$ справедливы следующие соотношения для корней:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -B$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = C$

Применительно к нашему уравнению, где $B=p$ и $C=1$, получаем:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = 1$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.
Отсюда следует:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение известные нам значения из условия и из теоремы Виета:
$254 = (-p)^2 - 2 \cdot 1$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $p$:
$254 = p^2 - 2$
$p^2 = 254 + 2$
$p^2 = 256$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $p$:
$p = \pm\sqrt{256}$
$p = \pm 16$.

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $p$ уравнение имеет действительные корни. Условие существования действительных корней — неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = p^2 - 4$.
Так как мы нашли, что $p^2 = 256$, то $D = 256 - 4 = 252$.
Поскольку $D = 252 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при $p = 16$ и при $p = -16$. Следовательно, оба значения подходят.

Ответ: $p = \pm 16$.