Номер 1288, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1288, страница 283.

1288. Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (x + y2)(x - y2) = 1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

$$\begin{gathered} \left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)=1; x=3; y=2 \\ {\left(\left(x+y\sqrt{2}\right)\left(x-y\sqrt{2}\right)\right)}^n=1^n, n\in N \\ {\left(x^2-2y^2\right)}^n=1 \\ {x}^2-2y^2=1 \\ {x}^2=1+2y^2,\text{ т.к. }x\in N, y\in N,\text{ то }x=\sqrt{1+2y^2} \end{gathered}$$

если y=12, то $x=\sqrt{289}=17$ и т.д.

Следовательно, существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению

Преобразуем исходное уравнение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y\sqrt{2}$.

$(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = x^2 - (y\sqrt{2})^2 = x^2 - 2y^2$.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению: $x^2 - 2y^2 = 1$. Это уравнение является частным случаем уравнения Пелля.

По условию, пара чисел $x=3, y=2$ является решением. Проверим это, подставив значения в преобразованное уравнение: $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$. Равенство выполняется, следовательно, пара $(3, 2)$ действительно является решением.

Для доказательства существования бесконечного множества других решений воспользуемся свойством решений уравнения Пелля. Если $(x_1, y_1)$ — решение, то новые решения $(x_n, y_n)$ можно получить из выражения $(x_1 + y_1\sqrt{2})^n$, где $n$ — любое натуральное число.

Пусть $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$. Покажем, что для любого натурального $n$ пара $(x_n, y_n)$ будет решением уравнения, и что $x_n, y_n$ — натуральные числа.

При раскрытии скобок в выражении $(3 + 2\sqrt{2})^n$ по формуле бинома Ньютона, все слагаемые будут положительными. После приведения подобных членов выражение примет вид $A + B\sqrt{2}$, где $A$ и $B$ — натуральные числа. Таким образом, $x_n = A$ и $y_n = B$ являются натуральными числами.

Например, для $n=2$:
$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$. Мы получили новую пару натуральных чисел $(x_2, y_2) = (17, 12)$. Проверим, является ли она решением: $17^2 - 2 \cdot 12^2 = 289 - 2 \cdot 144 = 289 - 288 = 1$. Да, это новое решение.

Докажем в общем виде. Если $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$, то сопряженное ему число будет $x_n - y_n\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^n$. Перемножим эти равенства: $(x_n + y_n\sqrt{2})(x_n - y_n\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2})^n(3 - 2\sqrt{2})^n$.

В левой части получим $x_n^2 - 2y_n^2$. В правой части: $((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}))^n = (3^2 - (2\sqrt{2})^2)^n = (9-8)^n = 1^n = 1$.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального $n$, пара $(x_n, y_n)$, полученная из разложения $(3 + 2\sqrt{2})^n$, является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$.

Осталось показать, что этот процесс порождает бесконечно много различных решений. Рассмотрим числовую последовательность $a_n = (3 + 2\sqrt{2})^n$. Поскольку основание степени $3 + 2\sqrt{2} > 1$, эта последовательность является строго возрастающей: $a_1 < a_2 < a_3 < \dots$. Следовательно, для разных натуральных $n$ мы получаем разные значения $a_n = x_n + y_n\sqrt{2}$. Так как $x_n$ и $y_n$ — натуральные числа, то и пары $(x_n, y_n)$ будут различными для разных $n$.

Поскольку существует бесконечно много натуральных чисел $n$, мы можем сгенерировать бесконечное множество различных пар $(x_n, y_n)$, являющихся решениями данного уравнения.

Ответ: Исходное уравнение $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = 1$ равносильно уравнению $x^2 - 2y^2 = 1$. Это уравнение Пелля. Если $(x_1, y_1)$ является его решением в натуральных числах (в задаче дано решение $(3, 2)$), то пары $(x_n, y_n)$, определяемые для каждого натурального $n \ge 1$ из равенства $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$, также являются решениями в натуральных числах. Так как $3 + 2\sqrt{2} > 1$, то для разных $n$ получаются разные пары $(x_n, y_n)$. Это означает, что существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению.