Номер 1293, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1293, страница 284.

1293. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х² + (а – 1)х – 2а = 0 равна 9?

$$\begin{gathered} x^2+\left(a-1\right)x-2a=0x^2+(a-1)x\; -\; 2a=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=9x\_1^2+x\_2^2=9 \end{gathered}$$

По теореме Виета

$$\begin{gathered} x_1+x_2=-\left(a-1\right)=1-a \\ x_1{x}_2=-2a \\ {x}_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=9 \\ {\left(1-a\right)}^2-2\left(-2a\right)=9 \\ 1-2a+a^2+4a-9=0 \\ {a}^2+2a-8=0 \\ D=2^2-4·1·\left(-8\right)=4+32=36 \\ a=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}; a=\frac{-2\pm 6}{2} \\ {a}_1=2\text{ или }{a}_2=-4 \end{gathered}$$

Если a=2, то $x^2+x-4=0$

$D=1^2-4·1·\left(-4\right)=1+16=17>0$ уравнение имеет два корня

Если a=-4, то $x^2-5x+8=0$

$D={\left(-5\right)}^2-4·1·8=25-32<0$ уравнение не имеет корней

Ответ: при a=2

Решение

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$. Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Вычислим дискриминант:
$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, для существования корней должно выполняться неравенство $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Согласно теореме Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета и заданное значение в эту формулу:
$9 = (1 - a)^2 - 2(-2a)$
$9 = 1 - 2a + a^2 + 4a$
$9 = a^2 + 2a + 1$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$a^2 + 2a - 8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Его корни можно найти, например, по теореме Виета для этого уравнения или разложив на множители: $(a + 4)(a - 2) = 0$.
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = -4$ и $a_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию существования корней исходного уравнения, то есть неравенству $D = a^2 + 6a + 1 \ge 0$.
1. Проверим $a = -4$:
$D = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
Поскольку $D < 0$, при $a = -4$ исходное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, это значение не является решением.
2. Проверим $a = 2$:
$D = (2)^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
Поскольку $D > 0$, при $a = 2$ уравнение имеет два действительных корня, значит, это значение нам подходит.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=2$.
Ответ: 2.