Номер 1295, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1295, страница 284.

1295. Докажите, что функция y =x² + 22x + 2 + x² - 22x + 2, где - 2≤ x ≤ 2, линейная.

$y=\sqrt{x^2+2\sqrt{2}x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x+2},$ где $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$

$$\begin{gathered} y=\sqrt{(x+\sqrt{2}{)}^2}+\sqrt{(x-\sqrt{2}{)}^2} \\ y=|x+\sqrt{2}|+|x-\sqrt{2}| \end{gathered}$$

Если $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}, \text{то} x+\sqrt{2}\ge 0, x-\sqrt{2}\le 0$

$$\begin{gathered} y=x+\sqrt{2}-(x-\sqrt{2}) \\ y=x+\sqrt{2}-x+\sqrt{2} \end{gathered}$$

$y=2\sqrt{2}$ - линейная функция

Для доказательства того, что заданная функция $y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{2}x + 2}$ является линейной на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, мы упростим ее выражение.

Сначала заметим, что выражения под знаками корня можно свернуть в полные квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Для первого подкоренного выражения: $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x + \sqrt{2})^2$.

Для второго подкоренного выражения: $x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$.

Теперь исходная функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(x - \sqrt{2})^2}$

Используя свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, мы можем переписать функцию через модули:

$y = |x + \sqrt{2}| + |x - \sqrt{2}|$

Далее раскроем модули, учитывая заданный промежуток $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

1. Оценим знак выражения в первом модуле. Так как по условию $x \ge -\sqrt{2}$, то $x + \sqrt{2} \ge 0$. Следовательно, $|x + \sqrt{2}| = x + \sqrt{2}$.

2. Оценим знак выражения во втором модуле. Так как по условию $x \le \sqrt{2}$, то $x - \sqrt{2} \le 0$. Следовательно, $|x - \sqrt{2}| = -(x - \sqrt{2}) = -x + \sqrt{2}$.

Подставим раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x + \sqrt{2}) + (-x + \sqrt{2}) = x + \sqrt{2} - x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Таким образом, на промежутке $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$ функция тождественно равна константе $y = 2\sqrt{2}$. Функция вида $y = kx + b$ называется линейной. В нашем случае мы имеем $y = 0 \cdot x + 2\sqrt{2}$, где $k=0$ и $b=2\sqrt{2}$. Это соответствует определению линейной функции.

Ответ: На заданном промежутке функция упрощается до вида $y = 2\sqrt{2}$. Это уравнение является частным случаем линейной функции $y=kx+b$ (при $k=0$ и $b=2\sqrt{2}$), что и требовалось доказать.