Номер 1291, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1291, страница 283.

1291. Найдите наименьшее значение выражения

(а – 1)(а – 2)(а – 5)(а – 6) + 9.

$$\begin{gathered} \left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a-5\right)\left(a-6\right)+9= \\ =\left(\left(a-1\right)\left(a-6\right)\right)·\left(\left(a-2\right)\left(a-5\right)\right)+9= \\ =\left(a^2-7a+6\right)·\left(a^2-7a+10\right)+9 \\ {a}^2-7a=t \\ \left(t+6\right)\left(t+10\right)+9=t^2+16t+60+9=t^2+16t+69= \\ =t^2+16t+64+5={\left(t+8\right)}^2+5 \\ {\left(a^2-7a+8\right)}^2+5 \end{gathered}$$

Наименьшее значение выражения равно 5 при

$$\begin{gathered} a^2-7a+8=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·8=49-32=17 \\ a=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: 5 при $a=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2}a=\backslash frac\{7\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{17\}\}\{2\}$

Обозначим данное выражение как $E(a) = (a - 1)(a - 2)(a - 5)(a - 6) + 9$.

Для упрощения выражения сгруппируем множители. Заметим, что суммы свободных членов в парах скобок $(a-1)$ и $(a-6)$, а также $(a-2)$ и $(a-5)$ равны: $-1 + (-6) = -7$ и $-2 + (-5) = -7$. Перегруппируем множители в соответствии с этим наблюдением:
$E(a) = [(a - 1)(a - 6)] \cdot [(a - 2)(a - 5)] + 9$.

Теперь раскроем скобки в каждой группе:
$(a - 1)(a - 6) = a^2 - 6a - a + 6 = a^2 - 7a + 6$.
$(a - 2)(a - 5) = a^2 - 5a - 2a + 10 = a^2 - 7a + 10$.

Подставим полученные выражения обратно и введем замену переменной для дальнейшего упрощения. Пусть $t = a^2 - 7a$.
$E(a) = (a^2 - 7a + 6)(a^2 - 7a + 10) + 9 = (t + 6)(t + 10) + 9$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении для $t$:
$E(t) = t^2 + 10t + 6t + 60 + 9 = t^2 + 16t + 69$.

Мы получили квадратичную функцию от $t$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине. Найдем наименьшее значение этого выражения, выделив полный квадрат:
$t^2 + 16t + 69 = (t^2 + 2 \cdot t \cdot 8 + 8^2) - 8^2 + 69 = (t + 8)^2 - 64 + 69 = (t + 8)^2 + 5$.

Выражение $(t + 8)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(t + 8)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $t = -8$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $E(t)$ равно $0 + 5 = 5$.

Необходимо убедиться, что значение $t = -8$ достижимо, то есть существует такое действительное число $a$, что $a^2 - 7a = -8$.
Решим уравнение: $a^2 - 7a + 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$.
Поскольку $D = 17 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что значение $t = -8$ является достижимым.

Таким образом, наименьшее значение исходного выражения равно 5.
Ответ: 5.