Номер 1289, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1289, страница 283.

1289. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х² + х + m = 0 равна 13?

$$\begin{gathered} x^2+x+m=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=13 \\ {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=13 \\ {\left(-1\right)}^2-2m=13 \\ 1-2m=13 \\ 2m=-12 \\ m=-6 \end{gathered}$$

Ответ: при m=-6

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + x + m = 0$ коэффициенты равны $p=1$ и $q=m$. Следовательно:

• $x_1 + x_2 = -1$
• $x_1 \cdot x_2 = m$

По условию задачи сумма квадратов корней равна 13:

$x_1^2 + x_2^2 = 13$

Чтобы связать это условие с теоремой Виета, выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда можно выразить сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это равенство известные нам значения: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = m$ и $x_1^2 + x_2^2 = 13$.

$13 = (-1)^2 - 2 \cdot m$

Получили линейное уравнение относительно $m$. Решим его:

$13 = 1 - 2m$

$2m = 1 - 13$

$2m = -12$

$m = \frac{-12}{2}$

$m = -6$

Необходимо также убедиться, что при найденном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 - 4m$

Подставим $m = -6$:

$D = 1 - 4(-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, найденное значение $m$ является решением задачи.

Ответ: $m = -6$.