Номер 1284, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1284, страница 283.

1284. Упростите выражение. Укажите допустимые значения переменных.

$$\begin{gathered} \frac{{\left(p^2-{\displaystyle \frac{1}{q^2}}\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(q^2-\frac{1}{p^2}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(\left(p-\frac{1}{q}\right)\left(p+\frac{1}{q}\right)\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(\left(q-\frac{1}{p}\right)\left(q+\frac{1}{p}\right)\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^p{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p{\left(p-\frac{1}{q}\right)}^{q-p}}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^{p+q-p}{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^{q+p-q}}= \\ =\frac{{\left(p-{\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^q{\left(p+\frac{1}{q}\right)}^p}{{\left(q-\frac{1}{p}\right)}^q{\left(q+\frac{1}{p}\right)}^p}=\frac{{\left(\frac{pq-1}{q}\right)}^q{\left(\frac{pq+1}{q}\right)}^p}{{\left(\frac{pq-1}{p}\right)}^q{\left(\frac{pq+1}{p}\right)}^p}= \\ ={\left(\frac{pq-1}{q}·\frac{p}{pq-1}\right)}^q·{\left(\frac{pq+1}{q}·\frac{p}{pq+1}\right)}^p= \\ ={\left(\frac{p}{q}\right)}^q·{\left(\frac{p}{q}\right)}^p={\left(\frac{p}{q}\right)}^{q+p}, \\ \text{где }p\ne 0, q\ne 0,\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\ne 1, \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\ne 1 \\ p\in \mathrm{\mathbb{Z}},q\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Упростите выражение

Исходное выражение:

$$ \frac{\left(p^2 - \frac{1}{q^2}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

1. Разложим на множители выражения в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)$

$q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)$

2. Подставим эти разложения в исходное выражение:

$$ \frac{\left[\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right]^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left[\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right]^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

3. Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$:

В числителе: $\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^{p+q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^q$.

В знаменателе: $\left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} = \left(q + \frac{1}{p}\right)^{q+p-q} = \left(q + \frac{1}{p}\right)^p$.

5. Выражение примет вид:

$$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} $$

6. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями степени, используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$:

$$ \left(\frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}}\right)^q \left(\frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}}\right)^p $$

7. Упростим дроби внутри скобок, приводя к общему знаменателю:

$\frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq-1}{q}}{\frac{pq-1}{p}} = \frac{pq-1}{q} \cdot \frac{p}{pq-1} = \frac{p}{q}$

$\frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq+1}{q}}{\frac{pq+1}{p}} = \frac{pq+1}{q} \cdot \frac{p}{pq+1} = \frac{p}{q}$

8. Подставим упрощенные дроби обратно в выражение:

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^q \left(\frac{p}{q}\right)^p $$

9. Используем свойство $a^m a^n = a^{m+n}$ для завершения упрощения:

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^{p+q} $$

Ответ: $\left(\frac{p}{q}\right)^{p+q}$

Укажите допустимые значения переменных

Для того чтобы исходное выражение было определено, необходимо выполнение нескольких условий. Будем исходить из того, что $p$ и $q$ — действительные числа, что требует положительности оснований степеней.

1. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

2. Знаменатель всего выражения не должен быть равен нулю:

$\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} \neq 0$

Это означает, что $q^2 - \frac{1}{p^2} \neq 0$ и $q + \frac{1}{p} \neq 0$.

Из $q^2 \neq \frac{1}{p^2}$ следует, что $p^2q^2 \neq 1$, то есть $|pq| \neq 1$.

Из $q \neq -\frac{1}{p}$ следует, что $pq \neq -1$, что уже учтено в условии $|pq| \neq 1$.

3. Основания степеней с действительными показателями должны быть положительными:

а) $p^2 - \frac{1}{q^2} > 0 \implies \frac{p^2q^2-1}{q^2} > 0 \implies p^2q^2 > 1 \implies |pq| > 1$.

б) $p - \frac{1}{q} > 0 \implies \frac{pq-1}{q} > 0$.

в) $q^2 - \frac{1}{p^2} > 0 \implies \frac{p^2q^2-1}{p^2} > 0 \implies p^2q^2 > 1 \implies |pq| > 1$.

г) $q + \frac{1}{p} > 0 \implies \frac{pq+1}{p} > 0$.

Из условия (а) следует, что $|pq| > 1$. Это автоматически удовлетворяет условию $|pq| \neq 1$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $pq > 1$.

В этом случае $pq-1 > 0$. Чтобы неравенство (б) $\frac{pq-1}{q} > 0$ выполнялось, необходимо, чтобы $q > 0$.

Если $q > 0$ и $pq > 1$, то и $p$ должно быть положительным ($p > 0$).

Проверим неравенство (г): $\frac{pq+1}{p} > 0$. Так как $p > 0$ и $pq+1 > 2 > 0$, это неравенство выполняется.

Таким образом, набор условий $p > 0$, $q > 0$ и $pq > 1$ является допустимым.

Случай 2: $pq < -1$.

В этом случае $pq-1 < -2 < 0$. Чтобы неравенство (б) $\frac{pq-1}{q} > 0$ выполнялось, необходимо, чтобы $q < 0$.

Если $q < 0$ и $pq < -1$, то $p$ должно быть положительным ($p = \frac{pq}{q} = \frac{\text{отриц.}}{\text{отриц.}} > 0$).

Проверим неравенство (г): $\frac{pq+1}{p} > 0$. Так как $p > 0$, необходимо, чтобы $pq+1 > 0$, то есть $pq > -1$.

Это противоречит нашему предположению $pq < -1$. Следовательно, этот случай невозможен.

Объединяя все условия, получаем, что допустимыми значениями переменных являются такие $p$ и $q$, для которых $p > 0$, $q > 0$ и $pq > 1$.

Ответ: $p > 0$, $q > 0$, $pq > 1$.