Номер 1278, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1278, страница 282.

1278. Найдите корни уравнения x² - 2x -2x + 1x²- 13 = 0.

$$\begin{gathered} x^2-2x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-13=0, x\ne 0 \\ {\left(\frac{1}{x}+x\right)}^2-2\left(\frac{1}{x}+x\right)-15=0 \\ \frac{1}{x}+x=t \\ {t}^2-2t-15=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-15\right)=4+60=64 \\ t=\frac{2\pm \sqrt{64}}{2}; t=\frac{2\pm 8}{2} \\ {t}_1=5; t_2=-3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+x=5 \\ 1+x^2=5x \\ {x}^2-5x+1=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4·1·1=25-4=21 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2} \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+x=-3 \\ 1+x^2=-3x \\ {x}^2+3x+1=0 \\ D=3^2-4·1·1=9-4=5 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}; \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

Дано уравнение: $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатели не равны нулю, то есть $x \neq 0$.

Сгруппируем члены уравнения, чтобы выделить повторяющиеся выражения:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (2x + \frac{2}{x}) - 13 = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0$

Это уравнение является возвратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть:

$y = x + \frac{1}{x}$

Теперь необходимо выразить член $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Из этого соотношения выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

Подставим полученные выражения для $(x + \frac{1}{x})$ и $(x^2 + \frac{1}{x^2})$ в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 13 = 0$

Упростим и решим полученное квадратное уравнение относительно переменной $y$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-15$. Легко подобрать корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$. Это приводит к двум отдельным уравнениям.

Сначала рассмотрим случай, когда $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (что допустимо, так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 5x$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Теперь рассмотрим случай, когда $y = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.