Номер 1274, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1274, страница 282.

1274. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями 514 и 512.

$$\begin{gathered} \frac{5}{14}=\frac{5·6}{14·6}=\frac{30}{84}\backslash frac\{5\}\{14\}=\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; 6\}\{14\; \backslash cdot\; 6\}=\backslash frac\{30\}\{84\} \\ \frac{5}{12}=\frac{5·7}{12·7}=\frac{35}{84}\backslash frac\{5\}\{12\}=\backslash frac\{5\; \backslash cdot\; 7\}\{12\; \backslash cdot\; 7\}=\backslash frac\{35\}\{84\} \end{gathered}$$

Чтобы получить знаменатель 21, нужно 84:4=21. Значит, и числитель должен делиться на 4. Между дробями $\frac{30}{84}\backslash frac\{30\}\{84\}$ и $\frac{35}{84}\backslash frac\{35\}\{84\}$ числитель 32:4=8

Получили дробь $\frac{32}{84}=\frac{8}{21}\backslash frac\{32\}\{84\}=\backslash frac\{8\}\{21\}$

Ответ: $\frac{8}{21}\backslash frac\{8\}\{21\}$

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{21}$, где $x$ — натуральное число. По условию задачи, эта дробь должна быть заключена между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$.

Для начала сравним дроби $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$. Так как у них одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Поскольку $12 < 14$, то $\frac{5}{12} > \frac{5}{14}$.

Таким образом, мы ищем дробь $\frac{x}{21}$, удовлетворяющую двойному неравенству:

$\frac{5}{14} < \frac{x}{21} < \frac{5}{12}$

Чтобы найти $x$, приведём все три дроби к общему знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 14, 21 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(14, 21, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

Теперь приведём каждую дробь в неравенстве к знаменателю 84:

$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84}$

$\frac{x}{21} = \frac{x \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{4x}{84}$

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$

Подставим полученные дроби в неравенство:

$\frac{30}{84} < \frac{4x}{84} < \frac{35}{84}$

Так как знаменатели дробей равны, мы можем сравнить их числители:

$30 < 4x < 35$

Нам нужно найти такое целое число $x$, чтобы произведение $4x$ было больше 30, но меньше 35. Подберём подходящее значение $x$:

Если $x = 7$, то $4x = 28$, что меньше 30. Не подходит.

Если $x = 8$, то $4x = 32$. Неравенство $30 < 32 < 35$ является верным. Это значение подходит.

Если $x = 9$, то $4x = 36$, что больше 35. Не подходит.

Следовательно, единственное подходящее целое значение для $x$ — это 8.

Искомая дробь — $\frac{8}{21}$.

Ответ: $\frac{8}{21}$.