Номер 1280, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1280, страница 282.

1280. Найдите три различные обыкновенные дроби вида xx + 1 сумма которых равна натуральному числу.

$$\begin{gathered} \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+ \\ +1-\frac{1}{c+1}=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)<3 \end{gathered}$$

Пусть $\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}=\frac{c}{c+1}=\frac{1}{2}\backslash frac\{a\}\{a+1\}=\backslash frac\{b\}\{b+1\}=\backslash frac\{c\}\{c+1\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$, тогда $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$

Значит, $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}>1,5\backslash frac\{a\}\{a+1\}+\backslash frac\{b\}\{b+1\}+\backslash frac\{c\}\{c+1\}\; >\; 1,5$

Так как три различные обыкновенные дроби вида $\frac{x}{x+1}\backslash frac\{x\}\{x+1\}$ в сумме дают натуральное число, то это число больше 1,5 и меньше 3. Значит, оно равно 2.

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2\backslash frac\{a\}\{a+1\}+\backslash frac\{b\}\{b+1\}+\backslash frac\{c\}\{c+1\}=2$

Пусть a=1, тогда $\frac{a}{a+1}=\frac{1}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2-\frac{1}{2} \\ \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=\frac{3}{2} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3}{2}-\frac{c}{c+1} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3\left(c+1\right)-2c}{2\left(c+1\right)} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{3c+3-2c}{2\left(c+1\right)} \\ \frac{b}{b+1}=\frac{c+3}{2\left(c+1\right)} \end{gathered}$$

Так как у обыкновенной дроби по условию числитель на 1 меньше знаменателя, то

$$\begin{gathered} 2\left(c+1\right)-\left(c+3\right)=12(c+1)\; -\; (c+3)=1 \\ 2c+2-c-3=12c+2\; -\; c\; -\; 3=1 \\ c-1=1c\; -\; 1=1 \\ c=2c=2 \end{gathered}$$

Значит, $\frac{c}{c+1}=\frac{2}{3}$

$$\begin{gathered} \frac{b}{b+1}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{9-4}{6}=\frac{5}{6} \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{3+4+5}{6}=\frac{12}{6}=2 \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{5}{6}\backslash frac\{1\}\{2\};\; \backslash frac\{2\}\{3\};\; \backslash frac\{5\}\{6\}$

Пусть искомые три различные обыкновенные дроби имеют вид $ \frac{x_1}{x_1+1} $, $ \frac{x_2}{x_2+1} $ и $ \frac{x_3}{x_3+1} $. По условию, $x_1, x_2, x_3$ — различные числа. Чтобы дроби были обыкновенными и различными, будем считать $x_1, x_2, x_3$ различными натуральными числами. Сумма этих дробей должна быть равна натуральному числу, которое мы обозначим как $N$.

$ \frac{x_1}{x_1+1} + \frac{x_2}{x_2+1} + \frac{x_3}{x_3+1} = N, \quad N \in \mathbb{N} $

Каждая дробь вида $ \frac{x}{x+1} $ (где $x$ — натуральное число) больше 0, но меньше 1. Следовательно, сумма трех таких дробей будет больше 0, но меньше 3. Таким образом, возможное значение для $N$ — это 1 или 2.

Преобразуем общий вид дроби:$ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $

Подставим это выражение в исходное уравнение суммы:$ \left(1 - \frac{1}{x_1+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_2+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_3+1}\right) = N $$ 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right) = N $

Отсюда получаем выражение для суммы обратных величин:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - N $

Рассмотрим два возможных случая для $N$.

Первый случай: $N = 1$. Уравнение принимает вид:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 1 = 2 $.Поскольку $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа, наименьшие возможные значения для них — это 1, 2, 3. Тогда $x_1+1 \ge 2$, $x_2+1 \ge 3$, $x_3+1 \ge 4$.Максимально возможная сумма левой части уравнения:$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} $.Так как $ \frac{13}{12} < 2 $, уравнение не имеет решений в натуральных числах $x_i$. Значит, сумма дробей не может быть равна 1.

Второй случай: $N = 2$. Уравнение принимает вид:$ \frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 2 = 1 $.Нам нужно найти три различных натуральных числа $x_1, x_2, x_3$, удовлетворяющих этому уравнению. Пусть $y_1=x_1+1, y_2=x_2+1, y_3=x_3+1$. Тогда $y_1, y_2, y_3$ — различные целые числа, большие или равные 2. Упорядочим их: $2 \le y_1 < y_2 < y_3$.$ \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = 1 $.Из $y_1 < y_2 < y_3$ следует, что $ \frac{1}{y_1} > \frac{1}{y_2} > \frac{1}{y_3} $.Тогда $ 1 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} < \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_1} = \frac{3}{y_1} $, откуда $y_1 < 3$. Учитывая, что $y_1 \ge 2$, единственное возможное значение — $y_1=2$.

Подставим $y_1=2$ в уравнение:$ \frac{1}{2} + \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = 1 \implies \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} $.Теперь для $y_2$ имеем $2=y_1 < y_2$. Рассуждая аналогично, $ \frac{1}{2} = \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_3} < \frac{1}{y_2} + \frac{1}{y_2} = \frac{2}{y_2} $, откуда $y_2 < 4$. Учитывая, что $y_2 > 2$, единственное возможное значение — $y_2=3$.

Подставим $y_2=3$:$ \frac{1}{3} + \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{y_3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} $.Отсюда $y_3=6$.

Таким образом, мы нашли тройку чисел: $y_1=2, y_2=3, y_3=6$.Находим соответствующие значения $x_i$: $x_1 = y_1 - 1 = 1$, $x_2 = y_2 - 1 = 2$, $x_3 = y_3 - 1 = 5$.

Искомые дроби: $ \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6} $.

Проверим их сумму:$ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2 $.Сумма равна 2, что является натуральным числом.

Ответ: Три такие дроби — это $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $.