Номер 1273, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1273, страница 282.

1273. Докажите, что уравнение х⁴ – 5х³ – 4х² – 7х + 4 = 0 не имеет отрицательных корней.

$$\begin{gathered} x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0 \\ \left(x^4-4x^2+4\right)-\left(5x^3+7x\right)=0 \\ {\left(x^2-2\right)}^2-x\left(5x^2+7\right)=0 \\ {\left(x^2-2\right)}^2=x\left(5x^2+7\right) \\ x=\frac{{\left(x^2-2\right)}^2}{5x^2+7} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{l}{\left(x^2-2\right)}^2\ge 0\\ 5x^2+7>0\end{array}\right.\Rightarrow x\ge 0,$ что и требовалось доказать

Для доказательства того, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней, воспользуемся методом от противного. Предположим, что у уравнения существует отрицательный корень $x$.

Если корень $x$ отрицательный, его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - 5(-a)^3 - 4(-a)^2 - 7(-a) + 4 = 0$

Упростим полученное выражение, учитывая, что четная степень отрицательного числа дает положительный результат, а нечетная — отрицательный:

$a^4 - 5(-a^3) - 4(a^2) + 7a + 4 = 0$

$a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4 = 0$

Теперь нам нужно доказать, что это уравнение не имеет решений для $a > 0$. Для этого преобразуем левую часть уравнения, перегруппировав слагаемые. Заметим, что слагаемые $a^4$, $-4a^2$ и $4$ можно объединить, чтобы выделить полный квадрат:

$(a^4 - 4a^2 + 4) + 5a^3 + 7a = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a^2 - 2)^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$(a^2 - 2)^2 + 5a^3 + 7a = 0$

Проанализируем каждое слагаемое в левой части этого уравнения при условии, что $a > 0$. Первое слагаемое $(a^2 - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a^2 - 2)^2 \ge 0$. Второе слагаемое $5a^3$ и третье слагаемое $7a$ являются строго положительными, так как по определению $a > 0$.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму одного неотрицательного слагаемого и двух строго положительных слагаемых. Их сумма всегда будет строго больше нуля:

$\underbrace{(a^2-2)^2}_{\ge 0} + \underbrace{5a^3}_{>0} + \underbrace{7a}_{>0} > 0$

Полученное строгое неравенство показывает, что левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю при любом положительном значении $a$. Это приводит к противоречию с нашим первоначальным предположением о существовании отрицательного корня $x$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Доказано, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.