Номер 1266, страница 281 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 16. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1266, страница 281.

1266. Выполните действия над числами, записанными в стандартном виде:

a) $$\begin{gathered} \left(3,4·10^{15}\right)·\left(7·10^{-12}\right)=\left(3,4·7\right)·\left(10^{15}·10^{-12}\right)= \\ =23,8·10^3=2,38·10·10^3=2,38·10^4 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \left(8,1·10^{-23}\right)·\left(2·10^{21}\right)=\left(8,1·2\right)·\left(10^{-23}·10^{21}\right)=(8,1\; \backslash cdot\; 10^\{-23\})\; \backslash cdot\; (2\; \backslash cdot\; 10^\{21\})=(8,1\; \backslash cdot\; 2)\; \backslash cdot\; (10^\{-23\}\; \backslash cdot\; 10^\{21\})= \\ =16,2·10^{-2}=1,62·10·10^{-2}=1,62·10^{-1}=16,2\; \backslash cdot\; 10^\{-2\}=1,62\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; 10^\{-2\}=1,62\; \backslash cdot\; 10^\{-1\} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \left(9,6·10^{-12}\right):\left(3,2·10^{-15}\right)=\left(9,6:3,2\right)·\left(10^{-12}:10^{-15}\right)=(9,6\; \backslash cdot\; 10^\{-12\})\; :\; (3,2\; \backslash cdot\; 10^\{-15\})=(9,6\; :\; 3,2)\; \backslash cdot\; (10^\{-12\}\; :\; 10^\{-15\})= \\ =3·10^3=3\; \backslash cdot\; 10^3 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \left(4,08·10^{11}\right):\left(5,1·10^{-7}\right)=\left(4,08:5,1\right)·\left(10^{11}:10^{-7}\right)=(4,08\; \backslash cdot\; 10^\{11\})\; :\; (5,1\; \backslash cdot\; 10^\{-7\})=(4,08\; :\; 5,1)\; \backslash cdot\; (10^\{11\}\; :\; 10^\{-7\})= \\ =0,8·10^{18}=8·10^{-1}·10^{18}=8·10^{17}=0,8\; \backslash cdot\; 10^\{18\}=8\; \backslash cdot\; 10^\{-1\}\; \backslash cdot\; 10^\{18\}=8\; \backslash cdot\; 10^\{17\} \end{gathered}$$

а) Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно степени десяти. Затем, если необходимо, привести полученный результат к стандартному виду.

$(3,4 \cdot 10^{15}) \cdot (7 \cdot 10^{-12}) = (3,4 \cdot 7) \cdot (10^{15} \cdot 10^{-12})$

Сначала перемножим мантиссы:

$3,4 \cdot 7 = 23,8$

Теперь перемножим степени десяти, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{15} \cdot 10^{-12} = 10^{15 + (-12)} = 10^{3}$

Объединим результаты:

$23,8 \cdot 10^3$

Полученное число не записано в стандартном виде, так как его мантисса $23,8$ больше 10. Приведем его к стандартному виду. Для этого представим мантиссу как $2,38 \cdot 10^1$:

$23,8 \cdot 10^3 = (2,38 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 2,38 \cdot 10^{1+3} = 2,38 \cdot 10^4$

Ответ: $2,38 \cdot 10^4$.

б) Выполним умножение аналогично предыдущему пункту.

$(8,1 \cdot 10^{-23}) \cdot (2 \cdot 10^{21}) = (8,1 \cdot 2) \cdot (10^{-23} \cdot 10^{21})$

Произведение мантисс:

$8,1 \cdot 2 = 16,2$

Произведение степеней десяти:

$10^{-23} \cdot 10^{21} = 10^{-23+21} = 10^{-2}$

Объединим результаты:

$16,2 \cdot 10^{-2}$

Приведем число к стандартному виду, так как мантисса $16,2 > 10$. Представим $16,2$ как $1,62 \cdot 10^1$:

$16,2 \cdot 10^{-2} = (1,62 \cdot 10^1) \cdot 10^{-2} = 1,62 \cdot 10^{1+(-2)} = 1,62 \cdot 10^{-1}$

Ответ: $1,62 \cdot 10^{-1}$.

в) Чтобы выполнить деление чисел, записанных в стандартном виде, нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно степени десяти.

$(9,6 \cdot 10^{-12}) : (3,2 \cdot 10^{-15}) = \frac{9,6 \cdot 10^{-12}}{3,2 \cdot 10^{-15}} = (\frac{9,6}{3,2}) \cdot (\frac{10^{-12}}{10^{-15}})$

Сначала разделим мантиссы:

$9,6 : 3,2 = 3$

Теперь разделим степени десяти, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-12}}{10^{-15}} = 10^{-12 - (-15)} = 10^{-12+15} = 10^3$

Объединим результаты:

$3 \cdot 10^3$

Мантисса $3$ удовлетворяет условию $1 \le 3 < 10$, поэтому результат уже представлен в стандартном виде.

Ответ: $3 \cdot 10^3$.

г) Выполним деление аналогично предыдущему пункту.

$(4,08 \cdot 10^{11}) : (5,1 \cdot 10^{-7}) = (\frac{4,08}{5,1}) \cdot (\frac{10^{11}}{10^{-7}})$

Частное мантисс:

$4,08 : 5,1 = 0,8$

Частное степеней десяти:

$\frac{10^{11}}{10^{-7}} = 10^{11 - (-7)} = 10^{11+7} = 10^{18}$

Объединим результаты:

$0,8 \cdot 10^{18}$

Приведем число к стандартному виду, так как мантисса $0,8 < 1$. Представим $0,8$ как $8 \cdot 10^{-1}$:

$0,8 \cdot 10^{18} = (8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{18} = 8 \cdot 10^{-1+18} = 8 \cdot 10^{17}$

Ответ: $8 \cdot 10^{17}$.