Номер 1261, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1261, страница 280.

1261. Докажите, что при любом целом n верно равенство:

a) $2^n+2^n=2·2^n=2^{n+1}2^n+2^n=2\; \backslash cdot\; 2^n=2^\{n+1\}$

б) $2·3^n+3^n=3^n\left(2+1\right)=3·3^n=3^{n+1}2\; \backslash cdot\; 3^n+3^n=3^n\; (2+1)=3\; \backslash cdot\; 3^n=3^\{n+1\}$

а)

Для доказательства равенства $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ необходимо преобразовать его левую часть. Выражение $2^n + 2^n$ представляет собой сумму двух одинаковых слагаемых, что эквивалентно умножению этого слагаемого на 2. Однако, более формально, можно вынести общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 2^n \cdot (1 + 1)$.
Выполнив сложение в скобках, получаем:
$2^n \cdot 2$.
Используя основное свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, где в нашем случае $a=2$, $m=n$ и $k=1$, получаем:
$2^n \cdot 2^1 = 2^{n+1}$.
Таким образом, левая часть равенства $2^n + 2^n$ тождественно равна правой части $2^{n+1}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ верно, так как преобразование левой части дает $2^n(1+1) = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.

б)

Для доказательства равенства $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ преобразуем его левую часть, вынеся за скобки общий множитель $3^n$. Стоит учесть, что слагаемое $3^n$ можно представить как $1 \cdot 3^n$.
$2 \cdot 3^n + 3^n = 2 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n = 3^n \cdot (2 + 1)$.
Выполнив сложение в скобках, получаем:
$3^n \cdot 3$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, где $a=3$, $m=n$ и $k=1$, получаем:
$3^n \cdot 3^1 = 3^{n+1}$.
Таким образом, левая часть равенства $2 \cdot 3^n + 3^n$ тождественно равна правой части $3^{n+1}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ верно, так как преобразование левой части дает $3^n(2+1) = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.