Номер 1255, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1255, страница 280.

1255. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (n — целое число):

a) $100^n={\left(10^2\right)}^n=10^{2n}$

б) $0,1·100^{n+3}=\frac{1}{10}·{\left(10^2\right)}^{n+3}=10^{2n+6-1}=10^{2n+5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,01^n·10^{2-2n}={\left(\frac{1}{100}\right)}^n·10^{2-2n}= \\ =\frac{1}{{\left(10^2\right)}^n}·10^{2-2n}=10^{2-2n-2n}=10^{2-4n} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $100^n$ в виде степени с основанием 10, необходимо сначала представить число 100 как степень 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$.
Подставим это в исходное выражение: $100^n = (10^2)^n$.
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$

б) Чтобы представить выражение $0,1 \cdot 100^{n+3}$ в виде степени с основанием 10, представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
$100 = 10^2$.
Подставим эти значения в выражение: $0,1 \cdot 100^{n+3} = 10^{-1} \cdot (10^2)^{n+3}$.
Применим свойство возведения степени в степень ко второму множителю: $(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-1} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-1 + 2n + 6} = 10^{2n+5}$.
Ответ: $10^{2n+5}$

в) Чтобы представить выражение $0,01^n \cdot 10^{2-2n}$ в виде степени с основанием 10, представим множитель $0,01^n$ в виде степени с основанием 10.
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
Подставим это в выражение: $0,01^n = (10^{-2})^n$.
По свойству возведения степени в степень получаем: $(10^{-2})^n = 10^{-2n}$.
Теперь исходное выражение можно записать так: $10^{-2n} \cdot 10^{2-2n}$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложим показатели: $10^{-2n + (2-2n)} = 10^{-2n + 2 - 2n} = 10^{2-4n}$.
Ответ: $10^{2-4n}$