Номер 1256, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1256, страница 280.

1256. Упростите выражение (n — целое число):

a) $\frac{49^n}{7^{2n-1}}=\frac{{\left(7^2\right)}^n}{7^{2n-1}}=7^{2n-\left(2n-1\right)}=7^{2n-2n+1}=7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{15^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}=\frac{{\left(3·5\right)}^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}=\frac{3^n·5^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}= \\ =3^{n-\left(n-1\right)}·5^{n-\left(n+1\right)}=3^{n-n+1}·5^{n-n-1}= \\ =3·5^{-1}=\frac{3}{5}=0,6 \end{gathered}$$

a)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести степени к одному основанию. Заметим, что $49 = 7^2$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{49^n}{7^{2n-1}} = \frac{(7^2)^n}{7^{2n-1}}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{7^{2n}}{7^{2n-1}}$
Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$7^{2n - (2n-1)} = 7^{2n-2n+1} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б)

Для упрощения этого выражения разложим основание степени в числителе на простые множители. $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}} = \frac{(3 \cdot 5)^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в числителе:
$\frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)}$
Упростим показатели степеней:
$3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 3^1 \cdot 5^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, поэтому $5^{-1} = \frac{1}{5}$.
$3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$