Страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1254. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^{-1}+y^{-1}}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{x+y}{xy{\left(x+y\right)}^2}= \\ =\frac{1}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{x^{2}y+x{y}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a{b}^{-1}-a^{-1}b}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{b}{a}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}=\frac{{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{ab}}}{{\displaystyle \frac{b-a}{ab}}}= \\ =\frac{a^2-b^2}{ab}·\frac{ab}{-\left(a-b\right)}=-\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a-b}=-\left(a+b\right) \end{gathered}$$

а)

Исходное выражение: $$ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x + y)^2} $$

Сначала преобразуем числитель, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$. $$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $$

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $xy$: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} $$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь: $$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x + y)^2} $$

Это многоэтажная дробь, которую можно записать как деление числителя на знаменатель: $$ \frac{x+y}{xy} \div (x+y)^2 = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$, учитывая, что $(x+y)^2 = (x+y)(x+y)$: $$ \frac{x+y}{xy(x+y)^2} = \frac{1}{xy(x+y)} $$

Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $

б)

Исходное выражение: $$ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $$

Используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-1} = \frac{1}{a}$), преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель: $$ ab^{-1} - a^{-1}b = a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a} $$ Приведем к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $$

Знаменатель: $$ a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $$ Приведем к общему знаменателю $ab$: $$ \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b-a}{ab} $$

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b-a}{ab}} $$

Разделим числитель на знаменатель, для этого умножим числитель на дробь, обратную знаменателю: $$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} $$

Сократим общий множитель $ab$: $$ \frac{a^2 - b^2}{b-a} $$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{b-a} $$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Подставим это в знаменатель и сократим дробь на $(a-b)$: $$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $$

Ответ: $ -(a+b) $

1255. Представьте выражение в виде степени с основанием 10 (n — целое число):

a) $100^n={\left(10^2\right)}^n=10^{2n}$

б) $0,1·100^{n+3}=\frac{1}{10}·{\left(10^2\right)}^{n+3}=10^{2n+6-1}=10^{2n+5}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}0,01^n·10^{2-2n}={\left(\frac{1}{100}\right)}^n·10^{2-2n}= \\ =\frac{1}{{\left(10^2\right)}^n}·10^{2-2n}=10^{2-2n-2n}=10^{2-4n} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить выражение $100^n$ в виде степени с основанием 10, необходимо сначала представить число 100 как степень 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$.
Подставим это в исходное выражение: $100^n = (10^2)^n$.
Далее воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(10^2)^n = 10^{2 \cdot n} = 10^{2n}$.
Ответ: $10^{2n}$

б) Чтобы представить выражение $0,1 \cdot 100^{n+3}$ в виде степени с основанием 10, представим каждый множитель в виде степени с основанием 10.
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
$100 = 10^2$.
Подставим эти значения в выражение: $0,1 \cdot 100^{n+3} = 10^{-1} \cdot (10^2)^{n+3}$.
Применим свойство возведения степени в степень ко второму множителю: $(10^2)^{n+3} = 10^{2(n+3)} = 10^{2n+6}$.
Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-1} \cdot 10^{2n+6} = 10^{-1 + 2n + 6} = 10^{2n+5}$.
Ответ: $10^{2n+5}$

в) Чтобы представить выражение $0,01^n \cdot 10^{2-2n}$ в виде степени с основанием 10, представим множитель $0,01^n$ в виде степени с основанием 10.
$0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.
Подставим это в выражение: $0,01^n = (10^{-2})^n$.
По свойству возведения степени в степень получаем: $(10^{-2})^n = 10^{-2n}$.
Теперь исходное выражение можно записать так: $10^{-2n} \cdot 10^{2-2n}$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, сложим показатели: $10^{-2n + (2-2n)} = 10^{-2n + 2 - 2n} = 10^{2-4n}$.
Ответ: $10^{2-4n}$

1256. Упростите выражение (n — целое число):

a) $\frac{49^n}{7^{2n-1}}=\frac{{\left(7^2\right)}^n}{7^{2n-1}}=7^{2n-\left(2n-1\right)}=7^{2n-2n+1}=7$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{15^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}=\frac{{\left(3·5\right)}^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}=\frac{3^n·5^n}{3^{n-1}·5^{n+1}}= \\ =3^{n-\left(n-1\right)}·5^{n-\left(n+1\right)}=3^{n-n+1}·5^{n-n-1}= \\ =3·5^{-1}=\frac{3}{5}=0,6 \end{gathered}$$

a)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести степени к одному основанию. Заметим, что $49 = 7^2$.
Подставим это в числитель дроби:
$\frac{49^n}{7^{2n-1}} = \frac{(7^2)^n}{7^{2n-1}}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{7^{2n}}{7^{2n-1}}$
Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$7^{2n - (2n-1)} = 7^{2n-2n+1} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б)

Для упрощения этого выражения разложим основание степени в числителе на простые множители. $15 = 3 \cdot 5$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{15^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}} = \frac{(3 \cdot 5)^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки в числителе:
$\frac{3^n \cdot 5^n}{3^{n-1} \cdot 5^{n+1}}$
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{3^n}{3^{n-1}} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} = 3^{n-(n-1)} \cdot 5^{n-(n+1)}$
Упростим показатели степеней:
$3^{n-n+1} \cdot 5^{n-n-1} = 3^1 \cdot 5^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, поэтому $5^{-1} = \frac{1}{5}$.
$3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

1257. Докажите, что значение выражения (m — целое число) не зависит от m:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{21^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}=\frac{{\left(3·7\right)}^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}=\frac{3^m·7^m}{3^{m-1}·7^{m+1}}= \\ =3^{m-\left(m-1\right)}·7^{m-\left(m+1\right)}=3^{m-m+1}·7^{m-m-1}= \\ =3·7^{-1}=\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{6^m·10^{m+1}}{2^{2m}·15^{m-1}}=\frac{{\left(2·3\right)}^m·{\left(2·5\right)}^{m+1}}{2^{2m}·{\left(3·5\right)}^{\mathrm{m}-1}}= \\ =\frac{2^m·3^m·2^{m+1}·5^{m+1}}{2^{2m}·3^{m-1}·5^{m-1}}= \\ =2^{m+m+1-2m}·3^{m-\left(m-1\right)}·5^{m+1-\left(m-1\right)}= \\ =2·3·5^2=6·25=150 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от m, необходимо упростить его, используя свойства степеней. Цель — показать, что переменная m сокращается.

Исходное выражение: $ \frac{21^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} $.

Сначала разложим основание $21$ на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$. Тогда, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем $21^m = (3 \cdot 7)^m = 3^m \cdot 7^m$.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{3^m \cdot 7^m}{3^{m-1} \cdot 7^{m+1}} $

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{3^m}{3^{m-1}} \cdot \frac{7^m}{7^{m+1}} $

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^n}{a^k} = a^{n-k} $ для каждой группы:

$ 3^{m-(m-1)} \cdot 7^{m-(m+1)} = 3^{m-m+1} \cdot 7^{m-m-1} = 3^1 \cdot 7^{-1} $

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$ 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7} $

Полученное значение $ \frac{3}{7} $ является постоянным числом и не содержит переменную m. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от m.

Ответ: $ \frac{3}{7} $

б) Аналогично пункту а), упростим данное выражение, разложив составные основания степеней на простые множители.

Исходное выражение: $ \frac{6^m \cdot 10^{m+1}}{2^{2m} \cdot 15^{m-1}} $.

Разложим числа 6, 10 и 15 на простые множители и применим свойства степеней:

$6^m = (2 \cdot 3)^m = 2^m \cdot 3^m$

$10^{m+1} = (2 \cdot 5)^{m+1} = 2^{m+1} \cdot 5^{m+1}$

$15^{m-1} = (3 \cdot 5)^{m-1} = 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$ \frac{(2^m \cdot 3^m) \cdot (2^{m+1} \cdot 5^{m+1})}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} $

В числителе сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$:

$ \frac{2^{m+(m+1)} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} = \frac{2^{2m+1} \cdot 3^m \cdot 5^{m+1}}{2^{2m} \cdot 3^{m-1} \cdot 5^{m-1}} $

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $ \frac{a^n}{a^k} = a^{n-k} $:

$ 2^{(2m+1)-2m} \cdot 3^{m-(m-1)} \cdot 5^{(m+1)-(m-1)} $

Упростим показатели степеней:

$ 2^{2m+1-2m} \cdot 3^{m-m+1} \cdot 5^{m+1-m+1} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 $

Вычислим итоговое значение:

$ 2 \cdot 3 \cdot 25 = 6 \cdot 25 = 150 $

Полученное значение 150 является постоянным числом и не зависит от m. Доказательство завершено.

Ответ: $ 150 $

1258. Представьте выражение x⁻² + x⁻¹ + x в виде произведения двух множителей, один из которых равен:

а) х;

б) х⁻¹;

в) х⁻².

a) $x^{-2}+x^{-1}+x=x·\left(x^{-3}+x^{-2}+1\right)$

б) $x^{-2}+x^{-1}+x=x^{-1}·\left(x^{-1}+1+x^2\right)x^\{-2\}+x^\{-1\}+x=x^\{-1\}\; \backslash cdot\; (x^\{-1\}+1+x^2)$

в) $x^{-2}+x^{-1}+x=x^{-2}\left(1+x+x^3\right)x^\{-2\}+x^\{-1\}+x=x^\{-2\}(1+x+x^3)$

Для того чтобы представить выражение $x^{-2} + x^{-1} + x$ в виде произведения двух множителей, необходимо вынести за скобки заданный множитель. Для этого каждый член исходного выражения делится на этот множитель, при этом используется свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

а)
Требуется вынести за скобки множитель $x$. Для этого разделим каждый член выражения на $x$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^1} + \frac{x^{-1}}{x^1} + \frac{x^1}{x^1}\right)$
Упростим выражение в скобках, вычитая показатели степеней:
$x \cdot (x^{-2-1} + x^{-1-1} + x^{1-1}) = x \cdot (x^{-3} + x^{-2} + x^0)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$
Ответ: $x(x^{-3} + x^{-2} + 1)$

б)
Требуется вынести за скобки множитель $x^{-1}$. Для этого разделим каждый член выражения на $x^{-1}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-1} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-1}} + \frac{x^{-1}}{x^{-1}} + \frac{x^1}{x^{-1}}\right)$
Упростим выражение в скобках:
$x^{-1} \cdot (x^{-2-(-1)} + x^{-1-(-1)} + x^{1-(-1)}) = x^{-1} \cdot (x^{-2+1} + x^{-1+1} + x^{1+1}) = x^{-1} \cdot (x^{-1} + x^0 + x^2)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x^{-1}(x^{-1} + 1 + x^2)$
Ответ: $x^{-1}(x^{-1} + 1 + x^2)$

в)
Требуется вынести за скобки множитель $x^{-2}$. Для этого разделим каждый член выражения на $x^{-2}$:
$x^{-2} + x^{-1} + x = x^{-2} \cdot \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2}} + \frac{x^{-1}}{x^{-2}} + \frac{x^1}{x^{-2}}\right)$
Упростим выражение в скобках:
$x^{-2} \cdot (x^{-2-(-2)} + x^{-1-(-2)} + x^{1-(-2)}) = x^{-2} \cdot (x^{-2+2} + x^{-1+2} + x^{1+2}) = x^{-2} \cdot (x^0 + x^1 + x^3)$
Поскольку $x^0 = 1$, получаем итоговое произведение:
$x^{-2}(1 + x + x^3)$
Ответ: $x^{-2}(1 + x + x^3)$

1259. В выражении a⁻⁶ + a⁻⁴ вынесите за скобки множитель:

а) а⁻⁴;

б) а⁻⁶.

a) $a^{-6}+a^{-4}=a^{-4}(a^{-2}+1)$

б) $a^{-6}+a^{-4}=a^{-6}(1+a^2)$

а)

Чтобы вынести множитель $a^{-4}$ за скобки в выражении $a^{-6} + a^{-4}$, необходимо каждый член этого выражения разделить на $a^{-4}$.

Представим выражение в виде произведения $a^{-4}$ на выражение в скобках:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-4} \cdot \left( \frac{a^{-6}}{a^{-4}} + \frac{a^{-4}}{a^{-4}} \right)$

Для упрощения дробей воспользуемся свойством степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Вычислим первый член в скобках:

$\frac{a^{-6}}{a^{-4}} = a^{-6 - (-4)} = a^{-6 + 4} = a^{-2}$

Вычислим второй член в скобках:

$\frac{a^{-4}}{a^{-4}} = a^{-4 - (-4)} = a^{-4 + 4} = a^0 = 1$

Теперь подставим полученные результаты в скобки:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-4}(a^{-2} + 1)$

Ответ: $a^{-4}(a^{-2} + 1)$

б)

Чтобы вынести множитель $a^{-6}$ за скобки в выражении $a^{-6} + a^{-4}$, необходимо каждый член этого выражения разделить на $a^{-6}$.

Представим выражение в виде произведения $a^{-6}$ на выражение в скобках:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-6} \cdot \left( \frac{a^{-6}}{a^{-6}} + \frac{a^{-4}}{a^{-6}} \right)$

Используем то же свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Вычислим первый член в скобках:

$\frac{a^{-6}}{a^{-6}} = a^{-6 - (-6)} = a^{-6 + 6} = a^0 = 1$

Вычислим второй член в скобках:

$\frac{a^{-4}}{a^{-6}} = a^{-4 - (-6)} = a^{-4 + 6} = a^{2}$

Теперь подставим полученные результаты в скобки:

$a^{-6} + a^{-4} = a^{-6}(1 + a^{2})$

Ответ: $a^{-6}(1 + a^{2})$

1260. Упростите выражение:

a) $\frac{x^5+x^{12}}{x^{-5}+x^{-12}}=\frac{x^5\left(1+x^7\right)}{x^{-12}\left(x^7+1\right)}=x^{5-\left(-12\right)}=x^{17}$

б) $\frac{a^5+a^6+a^7}{a^{-5}+a^{-6}+a^{-7}}=\frac{a^5\left(1+a+a^2\right)}{a^{-7}\left(a^2+a+1\right)}=a^{5-\left(-7\right)}=a^{12}$

а) Для упрощения выражения $\frac{x^5 + x^{12}}{x^{-5} + x^{-12}}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе. В числителе вынесем за скобки член с наименьшим показателем степени, то есть $x^5$. В знаменателе также вынесем член с наименьшим показателем степени, то есть $x^{-12}$.

Преобразуем числитель:
$x^5 + x^{12} = x^5(1 + x^{12-5}) = x^5(1 + x^7)$.

Преобразуем знаменатель:
$x^{-5} + x^{-12} = x^{-12}(x^{-5 - (-12)} + x^{-12 - (-12)}) = x^{-12}(x^7 + x^0) = x^{-12}(x^7 + 1)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:
$\frac{x^5(1 + x^7)}{x^{-12}(1 + x^7)}$

Сократим общий множитель $(1 + x^7)$, предполагая, что он не равен нулю. Получим:
$\frac{x^5}{x^{-12}}$

Используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, находим окончательный результат:
$x^{5 - (-12)} = x^{5+12} = x^{17}$.
Ответ: $x^{17}$

б) Аналогично упростим выражение $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

В числителе вынесем за скобки $a^5$ (член с наименьшим показателем степени):
$a^5 + a^6 + a^7 = a^5(1 + a^{6-5} + a^{7-5}) = a^5(1 + a + a^2)$.

В знаменателе вынесем $a^{-7}$ (член с наименьшим показателем степени):
$a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-7}(a^{-5 - (-7)} + a^{-6 - (-7)} + a^{-7 - (-7)}) = a^{-7}(a^2 + a^1 + a^0) = a^{-7}(a^2 + a + 1)$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(a^2 + a + 1)}$

Так как $1 + a + a^2 = a^2 + a + 1$, сократим этот общий множитель (предполагая, что он не равен нулю):
$\frac{a^5}{a^{-7}}$

Применим свойство частного степеней:
$a^{5 - (-7)} = a^{5+7} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$

1261. Докажите, что при любом целом n верно равенство:

a) $2^n+2^n=2·2^n=2^{n+1}2^n+2^n=2\; \backslash cdot\; 2^n=2^\{n+1\}$

б) $2·3^n+3^n=3^n\left(2+1\right)=3·3^n=3^{n+1}2\; \backslash cdot\; 3^n+3^n=3^n\; (2+1)=3\; \backslash cdot\; 3^n=3^\{n+1\}$

а)

Для доказательства равенства $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ необходимо преобразовать его левую часть. Выражение $2^n + 2^n$ представляет собой сумму двух одинаковых слагаемых, что эквивалентно умножению этого слагаемого на 2. Однако, более формально, можно вынести общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 2^n \cdot (1 + 1)$.
Выполнив сложение в скобках, получаем:
$2^n \cdot 2$.
Используя основное свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, где в нашем случае $a=2$, $m=n$ и $k=1$, получаем:
$2^n \cdot 2^1 = 2^{n+1}$.
Таким образом, левая часть равенства $2^n + 2^n$ тождественно равна правой части $2^{n+1}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $2^n + 2^n = 2^{n+1}$ верно, так как преобразование левой части дает $2^n(1+1) = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.

б)

Для доказательства равенства $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ преобразуем его левую часть, вынеся за скобки общий множитель $3^n$. Стоит учесть, что слагаемое $3^n$ можно представить как $1 \cdot 3^n$.
$2 \cdot 3^n + 3^n = 2 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n = 3^n \cdot (2 + 1)$.
Выполнив сложение в скобках, получаем:
$3^n \cdot 3$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, где $a=3$, $m=n$ и $k=1$, получаем:
$3^n \cdot 3^1 = 3^{n+1}$.
Таким образом, левая часть равенства $2 \cdot 3^n + 3^n$ тождественно равна правой части $3^{n+1}$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $2 \cdot 3^n + 3^n = 3^{n+1}$ верно, так как преобразование левой части дает $3^n(2+1) = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.

1262. Сократите дробь (n — целое число):

a) $\frac{3^{n+1}-3^n}{2}=\frac{3^n·3-3^n}{2}=\frac{3^n\left(3-1\right)}{2}=3^n$

б) $\frac{2^n+2^{-n}}{4^n+1}=\frac{2^{-n}\left(2^{2n}+1\right)}{{\left(2^2\right)}^n+1}=\frac{2^{-n}\left(2^{2n}+1\right)}{2^{2n}+1}=2^{-n}$

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{3^{n+1} - 3^n}{2}$, преобразуем ее числитель. Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, представим $3^{n+1}$ как $3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n$. Тогда числитель примет вид $3 \cdot 3^n - 3^n$. Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки: $3^n(3 - 1) = 3^n \cdot 2$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{3^n \cdot 2}{2}$

Сократив дробь на 2, получаем конечный результат.

Ответ: $3^n$

б) Рассмотрим дробь $\frac{2^n + 2^{-n}}{4^n + 1}$. Сначала преобразуем знаменатель. Так как $4 = 2^2$, то $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. Дробь принимает вид $\frac{2^n + 2^{-n}}{2^{2n} + 1}$.

Чтобы избавиться от отрицательной степени в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на $2^n$:

$\frac{(2^n + 2^{-n}) \cdot 2^n}{(2^{2n} + 1) \cdot 2^n}$

Преобразуем числитель нового выражения, раскрыв скобки: $2^n \cdot 2^n + 2^{-n} \cdot 2^n = 2^{n+n} + 2^{-n+n} = 2^{2n} + 2^0 = 2^{2n} + 1$.

Теперь вся дробь выглядит следующим образом:

$\frac{2^{2n} + 1}{(2^{2n} + 1) \cdot 2^n}$

Сократим дробь на общий множитель $(2^{2n} + 1)$. В результате получаем $\frac{1}{2^n}$.

Ответ: $\frac{1}{2^n}$

1263. Докажите, что выражение принимает одно и то же значение при любых целых значениях переменных:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2^m·3^{n-1}-2^{m-1}·3^n}{2^m·3^n}=\frac{2^{m-1}·3^{n-1}\left(2-3\right)}{2^m·3^n}= \\ =-1·2^{m-1-m}·3^{n-1-n}=-1·2^{-1}·3^{-1}= \\ =-\frac{1}{2}·\frac{1}{3}=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{5^{n+1}·2^{n-2}+5^{n-2}·2^{n-1}}{10^{n-2}}= \\ =\frac{5^{n-2}·2^{n-2}\left(5^3+2\right)}{10^{n-2}}=\frac{10^{n-2}·\left(125+2\right)}{10^{n-2}}=127 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{5^m{4}^n}{5^{m-2}·2^{2n}+5^m{2}^{2n-1}}=\frac{5^m{4}^n}{2^{2n-1}·5^{m-2}\left(2+5^2\right)}= \\ =\frac{5^{m-\left(m-2\right)}·2^{2n-\left(2n-1\right)}}{2+25}=\frac{5^{m-m+2}·2^{2n-2n+1}}{27}= \\ =\frac{5^2·2}{27}=\frac{50}{27}=1\frac{23}{27} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{21^n}{3^{n-1}·7^{n+1}+3^n·7^n}=\frac{{\left(3·7\right)}^n}{3^{n-1}·7^n\left(7+3\right)}= \\ =\frac{3^n·7^n}{3^{n-1}·7^n·10}=\frac{3^{n-\left(n-1\right)}}{10}=\frac{3^{n-n+1}}{10}=\frac{3}{10}=0,3 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{2^m \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n}$ не зависит от переменных, упростим его. Для этого в числителе вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим множителем является $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$.
$\frac{2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} - 2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (2 - 3)}{2^m \cdot 3^n} = \frac{2^{m-1} \cdot 3^{n-1} \cdot (-1)}{2^{m-1} \cdot 2^1 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^1}$.
Сократим дробь на $2^{m-1} \cdot 3^{n-1}$:
$\frac{-1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$.
Поскольку в результате получилось число, значение выражения не зависит от целых значений $m$ и $n$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{5^{n+1} \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-1}}{10^{n-2}}$.
Преобразуем знаменатель, используя свойство степени произведения: $10^{n-2} = (5 \cdot 2)^{n-2} = 5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$.
Теперь вынесем в числителе за скобки общий множитель $5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$:
$\frac{5^{n-2} \cdot 5^3 \cdot 2^{n-2} + 5^{n-2} \cdot 2^{n-2} \cdot 2^1}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}} = \frac{(5^{n-2} \cdot 2^{n-2}) \cdot (5^3 + 2)}{5^{n-2} \cdot 2^{n-2}}$.
Сократим дробь на общий множитель $5^{n-2} \cdot 2^{n-2}$:
$5^3 + 2 = 125 + 2 = 127$.
Значение выражения не зависит от целого значения $n$.
Ответ: $127$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{5^m \cdot 4^n}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}}$.
Преобразуем $4^n$ в числителе: $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$. Выражение примет вид: $\frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^{m-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n-1}}$.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель. Удобнее всего вынести $5^m \cdot 2^{2n}$:
$\frac{5^m \cdot 2^{2n}}{5^m \cdot 5^{-2} \cdot 2^{2n} + 5^m \cdot 2^{2n} \cdot 2^{-1}} = \frac{5^m \cdot 2^{2n}}{(5^m \cdot 2^{2n}) \cdot (5^{-2} + 2^{-1})}$.
Сократим дробь на $5^m \cdot 2^{2n}$:
$\frac{1}{5^{-2} + 2^{-1}} = \frac{1}{\frac{1}{25} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2 + 25}{50}} = \frac{1}{\frac{27}{50}} = \frac{50}{27}$.
Значение выражения не зависит от целых значений $m$ и $n$.
Ответ: $\frac{50}{27}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{21^n}{3^{n-1} \cdot 7^{n+1} + 3^n \cdot 7^n}$.
Преобразуем числитель, представив 21 как произведение простых чисел: $21^n = (3 \cdot 7)^n = 3^n \cdot 7^n$.
Вынесем в знаменателе за скобки общий множитель $3^n \cdot 7^n$:
$\frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 3^{-1}) \cdot (7^n \cdot 7^1) + 3^n \cdot 7^n} = \frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 7^n) \cdot (3^{-1} \cdot 7^1) + (3^n \cdot 7^n) \cdot 1} = \frac{3^n \cdot 7^n}{(3^n \cdot 7^n) \cdot (3^{-1} \cdot 7 + 1)}$.
Сократим дробь на $3^n \cdot 7^n$:
$\frac{1}{3^{-1} \cdot 7 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{3} \cdot 7 + 1} = \frac{1}{\frac{7}{3} + 1} = \frac{1}{\frac{7+3}{3}} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10}$.
Значение выражения не зависит от целого значения $n$.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

1264. Корни x₁ и x₂ уравнения nx² – 5x + 1 = 0 связаны соотношением x₁⁻² + x₂⁻² = 13. Найдите n.

$$\begin{gathered} n{x}^2-5x+1=0, n\ne 0 \\ {x}^2-\frac{5}{n}x+\frac{1}{n}=0 \\ {x}_1^{-2}+x_2^{-2}=13 \\ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=13 \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}=13 \\ \frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1^2{x}_2^2}=13 \\ {x}_1+x_2=\frac{5}{n}; x_1{x}_2=\frac{1}{n} \\ \frac{{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^2-2·\frac{1}{n}}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}=13 \\ \frac{{\displaystyle \frac{25}{n^2}-\frac{2}{n}}}{\frac{1}{n^2}}=13 \\ \frac{25-2n}{n^2}·\frac{n^2}{1}=13 \\ 25-2n=13 \\ 2n=12 \\ n=6 \end{gathered}$$

Ответ: $n=6n=6$

Дано квадратное уравнение $nx^2 - 5x + 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для того чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, необходимо, чтобы коэффициент при $x^2$ не был равен нулю, то есть $n \neq 0$. Также для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = 25 - 4n \ge 0$, откуда $n \le \frac{25}{4}$ или $n \le 6.25$.

Согласно теореме Виета, для данного уравнения сумма и произведение корней равны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{n} = \frac{5}{n}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{1}{n}$

Нам дано соотношение $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Преобразуем левую часть этого соотношения. Заметим, что поскольку свободный член уравнения равен 1, то $x=0$ не является корнем, следовательно $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, и выражение имеет смысл.

$x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$

Выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим это выражение в преобразованное соотношение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2} = 13$

Теперь подставим в это уравнение выражения для суммы и произведения корней из теоремы Виета:

$\frac{(\frac{5}{n})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n})^2} = 13$

Упростим полученное выражение:

$\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}} = 13$

Умножим числитель и знаменатель дроби на $n^2$ (так как мы установили, что $n \neq 0$):

$\frac{n^2 \cdot (\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n})}{n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = 13$

$25 - 2n = 13$

Решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$25 - 13 = 2n$

$12 = 2n$

$n = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n$ ранее установленным условиям: $n \neq 0$ и $n \le 6.25$.

$6 \neq 0$ и $6 \le 6.25$. Оба условия выполняются, следовательно, решение корректно.

Ответ: $n = 6$.