Страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1303. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 713 ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?

Пусть x ч - время выполнения всей работы первым самосвалом, тогда (x+3)ч - время выполнения всей работы вторым самосвалом. Примем всю работу за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - скорость (производительность) первого самосвала, $\frac{1}{x+3}\backslash frac\{1\}\{x+3\}$ - производительность второго самосвала. Так как первый самосвал выполнил $\frac{1}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}$ работы со скоростью $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$, то время, потраченное на выполнение этой работы равно $\frac{1}{3}:\frac{1}{x}=\frac{x}{3}\backslash frac\{1\}\{3\}\; :\; \backslash frac\{1\}\{x\}=\backslash frac\{x\}\{3\}$(ч). Значит, оставшуюся часть работы $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}1\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{2\}\{3\}$ выполнит второй самосвал со скоростью $\frac{1}{x+3}\backslash frac\{1\}\{x+3\}$ и потратит времени $\frac{2}{3}:\frac{1}{x+3}=\frac{2\left(x+3\right)}{3}\backslash frac\{2\}\{3\}\; :\; \backslash frac\{1\}\{x+3\}=\backslash frac\{2(x+3)\}\{3\}$(ч). Зная, что время $\left(\frac{x}{3}+\frac{2\left(x+3\right)}{3}\right)(\backslash frac\{x\}\{3\}+\backslash frac\{2(x+3)\}\{3\})$ на $7\frac{1}{3}7\backslash frac\{1\}\{3\}$ ч больше, чем время при одновременной работе двух самосвалов, найдем время одновременной работы двух самосвалов и составим уравнение

$$\begin{gathered} 1:\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1:\frac{x+3+x}{x\left(x+3\right)}=1:\frac{2x+3}{x\left(x+3\right)}=\frac{x\left(x+3\right)}{2x+3}\text{ч} \\ \frac{x\left(x+3\right)}{2x+3}+7\frac{1}{3}=\frac{x}{3}+\frac{2\left(x+3\right)}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}+\frac{22}{3}=\frac{x+2x+6}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}=\frac{3x+6}{3}-\frac{22}{3} \\ \frac{x^2+3x}{2x+3}=\frac{3x-16}{3} /·3\left(2x+3\right) \\ 3\left(x^2+3x\right)=\left(3x-16\right)\left(2x+3\right) \\ 3x^2+9x=6x^2+9x-32x-48 \\ 6x^2-23x-3x^2-9x-48=0 \\ 3x^2-32x-48=0 \\ D=(-32{)}^2-4·3·(-48)=1024+576=1600 \\ x=\frac{32\pm \sqrt{1600}}{6}; x=\frac{32\pm 40}{6} \\ {x}_1=12; x_2=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}<0 \end{gathered}$$

12 + 3 = 15 (ч)

Ответ: 12ч и 15ч

Пусть $t_1$ – время в часах, за которое первый самосвал может вывезти всю руду, а $t_2$ – время в часах, за которое второй самосвал может вывезти всю руду.

Примем весь объем работы (всю руду) за 1. Тогда производительность первого самосвала равна $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть руды в час), а производительность второго – $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть руды в час).

Из условия, что первый самосвал вывозит руду на 3 часа быстрее, чем второй, следует первое уравнение:

$t_1 = t_2 - 3$

Рассмотрим время, затраченное на работу в двух разных случаях.

В первом случае (последовательная работа), первый самосвал вывозит треть руды ($\frac{1}{3}$). Время, затраченное на это, составляет $T_{1} = \frac{1/3}{P_1} = \frac{t_1}{3}$ ч. Затем второй самосвал вывозит оставшиеся две трети руды ($1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$), затратив на это $T_{2} = \frac{2/3}{P_2} = \frac{2t_2}{3}$ ч. Общее время при последовательной работе: $T_{посл} = \frac{t_1}{3} + \frac{2t_2}{3}$.

Во втором случае (одновременная работа), их общая производительность составляет $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. Время, за которое они вывезут всю руду вместе, равно $T_{одновр} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$ ч.

По условию, последовательная работа занимает на $7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ часа больше, чем одновременная. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{t_1}{3} + \frac{2t_2}{3} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} + \frac{22}{3}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_1 = t_2 - 3 \\ \frac{t_1 + 2t_2}{3} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} + \frac{22}{3} \end{cases}$

Подставим $t_1 = t_2 - 3$ во второе уравнение. Для удобства обозначим $t_2 = x$, тогда $t_1 = x - 3$. Поскольку время должно быть положительным, $t_1 > 0$, что означает $x - 3 > 0$, или $x > 3$.

$\frac{(x-3) + 2x}{3} = \frac{(x-3)x}{(x-3)+x} + \frac{22}{3}$

Умножим все уравнение на 3:

$3x - 3 = \frac{3x(x-3)}{2x-3} + 22$

$3x - 25 = \frac{3x^2 - 9x}{2x-3}$

Умножим обе части на $(2x-3)$:

$(3x - 25)(2x - 3) = 3x^2 - 9x$

$6x^2 - 9x - 50x + 75 = 3x^2 - 9x$

$6x^2 - 59x + 75 = 3x^2 - 9x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 50x + 75 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 75 = 2500 - 900 = 1600 = 40^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 40}{2 \cdot 3} = \frac{50 \pm 40}{6}$

Возможные значения для $x$ (то есть $t_2$):

$x_1 = \frac{50 + 40}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{50 - 40}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Проверим корни. Мы установили, что $x > 3$.

Корень $x_1 = 15$ подходит, так как $15 > 3$.

Корень $x_2 = \frac{5}{3}$ не подходит, так как $\frac{5}{3} < 3$. Этот корень является посторонним, так как привел бы к отрицательному времени для первого самосвала ($t_1 = \frac{5}{3} - 3 = -\frac{4}{3}$).

Таким образом, время работы второго самосвала $t_2 = 15$ часов.

Теперь найдем время работы первого самосвала:

$t_1 = t_2 - 3 = 15 - 3 = 12$ часов.

Ответ: первый самосвал может вывезти всю руду за 12 часов, а второй – за 15 часов.

1304. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Пусть x ч потребуется второму слесарю для выполнения задания, тогда (х+7)ч потребуется первому слесарю. Примем всё задание за 1, тогда $\frac{1}{x}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - скорость (производительность) выполнения задания вторым слесарем, а $\frac{1}{x+7}\backslash frac\{1\}\{x+7\}$ скорость первого слесаря. $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+7}=\frac{x+7+x}{x\left(x+7\right)}=\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}\backslash frac\{1\}\{x\}+\backslash frac\{1\}\{x+7\}=\backslash frac\{x+7+x\}\{x(x+7)\}=\backslash frac\{2x+7\}\{x(x+7)\}$ - общая скорость. Зная, что они вместе выполнили только $\frac{1}{2}$ задания, найдём, сколько времени они потратили: $\frac{1}{2}:\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}=\frac{x\left(x+7\right)}{2\left(2x+7\right)}\text{(ч)}$

Известно, что вторую половину задания выполнял второй слесарь, тогда $\frac{1}{2}:\frac{1}{x}=\frac{x}{2}\text{(ч)}$ он потратил на его выполнение. Найдём, сколько времени потратили на выполнение всего задания слесари, если бы выполняли его вместе: $1:\frac{2x+7}{x\left(x+7\right)}=\frac{x\left(x+7\right)}{2x+7}\text{(ч).}$

Зная, что, если бы они выполняли всю работу вместе, то времени бы было потрачено на 4,5ч меньше, составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{x\left(x+7\right)}{2x+7}+4,5=\frac{x\left(x+7\right)}{2\left(2x+7\right)}+\frac{x}{2} \\ \frac{x\left(x+7\right)+4,5\left(2x+7\right)}{2x+7}=\frac{x^2+7x+x\left(2x+7\right)}{2\left(2x+7\right)} \\ \frac{\left(x^2+7x+9x+31,5\right)·2}{2\left(2x+7\right)}= \\ =\frac{x^2+7x+2x^2+7x}{2\left(2x+7\right)} /·2(2x+7) \\ \left(x^2+16x+31,5\right)·2=3x^2+14x \\ 3x^2+14x=2x^2+32x+63 \\ 3x^2-2x^2+142-32x-63=0 \\ {x}^2-18x-63=0 \\ D={(-18)}^2-4·1·(-63)=324+252-576 \\ x=\frac{18\pm \sqrt{576}}{2}; x=\frac{18\pm 24}{2} \end{gathered}$$

$x_1=21; x_2=-3<0$ - не удовлетворяет условию задачи

21+7=28(ч)

Ответ: 28ч и 21ч

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй слесарь может выполнить все задание, работая в одиночку. Согласно условию, первому слесарю для выполнения всего задания потребуется на 7 часов больше, то есть $(x+7)$ часов.

Тогда производительность труда (часть задания, выполняемая за 1 час) для второго слесаря составляет $\frac{1}{x}$, а для первого — $\frac{1}{x+7}$.

Когда они работают вместе, их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $v_{вместе} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+7} = \frac{x+7+x}{x(x+7)} = \frac{2x+7}{x(x+7)}$ задания/час.

Рассчитаем время, которое потребовалось бы слесарям, если бы они выполняли всю работу вместе. $T_{вместе} = \frac{1}{v_{вместе}} = \frac{x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Теперь рассмотрим фактический сценарий. Сначала оба слесаря выполнили половину задания ($0,5$ от всего объема). Время, затраченное на этот этап: $T_1 = \frac{0,5}{v_{вместе}} = \frac{0,5 \cdot x(x+7)}{2x+7}$ часов.

Оставшуюся половину задания ($0,5$ от объема) заканчивал один второй слесарь. Время, затраченное на этот этап: $T_2 = \frac{0,5}{v_2} = \frac{0,5}{1/x} = 0,5x$ часов.

Общее время, затраченное на выполнение задания в реальности, равно сумме $T_1$ и $T_2$: $T_{факт} = T_1 + T_2 = \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 0,5x$.

По условию задачи, фактическое время выполнения оказалось на 4,5 часа больше, чем если бы они всю работу выполнили вместе: $T_{факт} = T_{вместе} + 4,5$
$\frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 0,5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 4,5$

Для решения уравнения вычтем из обеих частей $\frac{0,5x(x+7)}{2x+7}$:
$0,5x = \frac{x(x+7)}{2x+7} - \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 4,5$
$0,5x = \frac{0,5x(x+7)}{2x+7} + 4,5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x = \frac{x(x+7)}{2x+7} + 9$
$x - 9 = \frac{x^2+7x}{2x+7}$

Умножим обе части на $(2x+7)$, так как $x>0$, то знаменатель не равен нулю:
$(x - 9)(2x + 7) = x^2 + 7x$
$2x^2 + 7x - 18x - 63 = x^2 + 7x$
$2x^2 - 11x - 63 = x^2 + 7x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - x^2 - 11x - 7x - 63 = 0$
$x^2 - 18x - 63 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 24}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 24}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое второй слесарь выполняет задание в одиночку, равно 21 часу.

Время выполнения задания первым слесарем: $x + 7 = 21 + 7 = 28$ часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 28 часов, а второй — за 21 час.

1305. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.

Пусть х - цифра единиц, x+3 - цифра десятков. $10\left(x+3\right)+x=10x+30+x=11x+3010\; (x+3)+x=10x+30+x=11x+30$ - искомое число. $10x+x+3=11x+310x+x+3=11x+3$ - число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. По условию задачи составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \left(11x+30\right)\left(11x+3\right)=574 \\ 121x^2+33x+330x+90·574=0 \\ 121x^2+363x-484=0 /:121 \\ {x}^2+3x-4=0 \\ D=3^2-4·1·\left(-4\right)=9+16=25 \\ x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{-3\pm 5}{2} \end{gathered}$$

$x_1=1; x_2=-4$ - не цифра

1+3=4

41 - искомое число

Ответ: 41

Пусть $x$ — это цифра десятков искомого двузначного числа, а $y$ — это цифра его единиц. Тогда само число можно записать в виде $10x + y$.

Согласно условию, число единиц на 3 меньше числа десятков, что можно выразить уравнением:$y = x - 3$.

Поскольку $y$ является цифрой, $y \geq 0$, следовательно, $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Также $x$ — это цифра десятков, поэтому $x$ может принимать целые значения от 3 до 9.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10y + x$.

Произведение этого числа и исходного числа равно 574. Составим второе уравнение:$(10x + y)(10y + x) = 574$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$(10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574$.

Упростим выражения в скобках:$(11x - 3)(10x - 30 + x) = 574$$(11x - 3)(11x - 30) = 574$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:$121x^2 - 330x - 33x + 90 = 574$$121x^2 - 363x + 90 - 574 = 0$$121x^2 - 363x - 484 = 0$.

Все коэффициенты этого уравнения делятся на 121. Разделим обе части уравнения на 121:$x^2 - 3x - 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Легко подобрать корни:$x_1 = 4$$x_2 = -1$.

Так как $x$ — это цифра десятков, она не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, цифра десятков $x = 4$.

Теперь найдем цифру единиц $y$:$y = x - 3 = 4 - 3 = 1$.

Итак, искомое двузначное число — 41.

Проверим: число с обратным порядком цифр — 14. Произведение $41 \times 14 = 574$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 41.

1306. Найдите члены пропорции х₁ : х₂ = х₃ : х₄, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

$x_1:x_2=x_3:x_{4}x\_1\; :\; x\_2=x\_3\; :\; x\_4$

По условию задачи $x_1=x_2+6; x_3=x_4+5$ и $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=793$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x_2+6}{x_2}=\frac{x_4+5}{x_2}\\ {\left(x_2+6\right)}^2+x_2^2+{\left(x_4+5\right)}^2+x_4^2=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_4\left(x_2+6\right)=x_2\left(x_4+5\right)\\ x_2^2+12x_2+36+x_2^2+x_4^2+10x_4+25+x_4^2=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2{x}_4+6x_4=x_2{x}_4+5x_2\\ 2x_2^2+12x_2+36+2x_4^2+10x_4+25=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}5x_2=6x_4\\ 2x_2^2+12x_2+2x_4^2+10x_4+61=793\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{6x_4}{5}\\ 2x_2^2+12x_2+2x_4^2+10x_4=732 \mathrm{/}:2\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{6x_4}{5}\\ x_2^2+6x_2+x_4^2+5x_4=366\end{array}\right. \\ {\left(\frac{6x_4}{5}\right)}^2+6·\frac{6x_4}{5}+x_4^2+5x_4=366 \\ \frac{36x_4^2}{25}+\frac{36x_4}{5}+x_4^2+5x_4=366\mathrm{/}·25 \\ 36x_4^2+180x_4+25x_4^2+125x_4=9150 \\ 61x_4^2+305x_4-9150=0\mathrm{/}:61 \\ {x}_4^2+5x_4-150=0 \\ D=5^2-4·1·\left(-150\right)=25+600=625 \\ {x}_4=\frac{-5\pm \sqrt{625}}{2}; x_4=\frac{-5\pm 25}{2} \\ {x}_4=10\text{или}{x}_4=-15 \\ {x}_3=10+5=15\text{или}{x}_3=-15+5=-10 \\ {x}_2=\frac{6x_4}{5}=\frac{6·10}{5}=12 \\ \text{или} \\ {x}_2=\frac{6x_4}{5}=\frac{6·\left(-15\right)}{5}=-18 \\ {x}_1=12+6=18\text{или}{x}_1=-18+6=-12 \end{gathered}$$

Ответ: 18; 12; 15; 10 или -12; -18; -10; -15

Пусть члены пропорции равны $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему уравнений:

1. Пропорция $x_1 : x_2 = x_3 : x_4$. По основному свойству пропорции это означает, что $x_1 \cdot x_4 = x_2 \cdot x_3$.
2. Первый член на 6 больше второго: $x_1 = x_2 + 6$.
3. Третий член на 5 больше четвертого: $x_3 = x_4 + 5$.
4. Сумма квадратов всех членов равна 793: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 793$.

Подставим выражения для $x_1$ и $x_3$ из второго и третьего уравнений в первое:

$(x_2 + 6) \cdot x_4 = x_2 \cdot (x_4 + 5)$

Раскроем скобки:

$x_2 x_4 + 6x_4 = x_2 x_4 + 5x_2$

Вычтем $x_2 x_4$ из обеих частей уравнения:

$6x_4 = 5x_2$

Из этого соотношения следует, что мы можем выразить $x_2$ и $x_4$ через некоторый коэффициент пропорциональности $k$. Пусть $x_2 = 6k$ и $x_4 = 5k$.

Теперь выразим $x_1$ и $x_3$ через $k$:

$x_1 = x_2 + 6 = 6k + 6$

$x_3 = x_4 + 5 = 5k + 5$

Подставим все четыре выражения в уравнение для суммы квадратов:

$(6k + 6)^2 + (6k)^2 + (5k + 5)^2 + (5k)^2 = 793$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(36k^2 + 72k + 36) + 36k^2 + (25k^2 + 50k + 25) + 25k^2 = 793$

Сгруппируем подобные члены:

$(36+36+25+25)k^2 + (72+50)k + (36+25) = 793$

$122k^2 + 122k + 61 = 793$

$122k^2 + 122k - 732 = 0$

Разделим обе части уравнения на 122:

$k^2 + k - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $k_1 = 2$ и $k_2 = -3$.

Теперь найдем члены пропорции для каждого значения $k$.

Случай 1: $k = 2$

$x_1 = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18$

$x_2 = 6(2) = 12$

$x_3 = 5(2) + 5 = 10 + 5 = 15$

$x_4 = 5(2) = 10$

Получаем пропорцию 18 : 12 = 15 : 10.

Случай 2: $k = -3$

$x_1 = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12$

$x_2 = 6(-3) = -18$

$x_3 = 5(-3) + 5 = -15 + 5 = -10$

$x_4 = 5(-3) = -15$

Получаем пропорцию -12 : -18 = -10 : -15.

Таким образом, существуют два набора чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Члены пропорции: 18, 12, 15, 10 или -12, -18, -10, -15.

1307. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго — 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км?

Пусть через t ч расстояние между пешеходами будет равно 25км, тогда (7+4t)км пройдёт первый, а (10+5t)км пройдёт второй пешеход.

Зная, что они идут по двум взаимно перпендикулярным дорогам, составим и решим уравнение по теореме Пифагора

$$\begin{gathered} (7+4t{)}^2+(10+5t{)}^2={25}^2 \\ 49+56t+16t^2+100+100t+25t^2=625 \\ 41t^2+156t+149-625=0 \\ 41t^2+156t-476=0 \\ 41t^2+2·78t-476=0 \\ {D}_1={78}^4-41·(-476)=6084+19516=25600 \\ t=\frac{-78\pm \sqrt{25600}}{41}; t=\frac{-78\pm 160}{41} \end{gathered}$$

$t_1=2 \text{или} t_2=\frac{-238}{41}<0$ - не удовлетворяет условию задачи t>0

Ответ: через 2ч

Пусть город находится в начале координат $O(0, 0)$. Поскольку дороги взаимно перпендикулярны, их можно представить как оси координат. Пусть первый пешеход движется по одной оси (например, Ox), а второй — по другой (Oy).

Пусть $t$ — искомое время в часах, которое пройдет с текущего момента.

Через время $t$ первый пешеход, который движется со скоростью $v_1 = 4$ км/ч и сейчас находится в 7 км от города, будет на расстоянии $d_1(t) = 7 + 4t$ км от города. Это будет его координата по одной из осей.

Через время $t$ второй пешеход, который движется со скоростью $v_2 = 5$ км/ч и сейчас находится в 10 км от города, будет на расстоянии $d_2(t) = 10 + 5t$ км от города. Это будет его координата по другой оси.

Поскольку пешеходы движутся по перпендикулярным дорогам, их положения относительно города образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между ними $D$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: $D(t)^2 = d_1(t)^2 + d_2(t)^2$

Мы ищем время $t$, когда расстояние между пешеходами будет равно 25 км. Подставим известные значения в уравнение: $25^2 = (7 + 4t)^2 + (10 + 5t)^2$

Выполним вычисления и раскроем скобки: $625 = (7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 4t + (4t)^2) + (10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 5t + (5t)^2)$ $625 = (49 + 56t + 16t^2) + (100 + 100t + 25t^2)$

Соберем все слагаемые и приведем подобные: $625 = (16t^2 + 25t^2) + (56t + 100t) + (49 + 100)$ $625 = 41t^2 + 156t + 149$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$: $41t^2 + 156t + 149 - 625 = 0$ $41t^2 + 156t - 476 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = 156^2 - 4 \cdot 41 \cdot (-476) = 24336 + 78064 = 102400$

Найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$: $t = \frac{-156 \pm \sqrt{102400}}{2 \cdot 41} = \frac{-156 \pm 320}{82}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-156 + 320}{82} = \frac{164}{82} = 2$ $t_2 = \frac{-156 - 320}{82} = \frac{-476}{82}$

Поскольку время $t$ в контексте задачи не может быть отрицательным, второй корень не является решением. Таким образом, подходящее значение времени $t = 2$ часа.

Ответ: через 2 часа.

1308. Докажите, что если а + с = 2b и 2bd = c(b + d), причём b ≠ 0 и d ≠ 0, то ab = cd.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}a+c=2b\\ 2bd=c\left(b+d\right)\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ 2bd=cb+cd\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ 2bd-cd=cb\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ d\left(2b-c\right)=cb\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}a=2b-c\\ d=\frac{cb}{2b-c}\end{array}\right., b\ne 0, d\ne 0 \\ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \\ ad=bc \end{gathered}$$

$\left(2b-c\right)·\frac{bc}{2b-c}=bc,$ что и требовалось доказать

Нам даны два равенства и условия, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

1. $a + c = 2b$

2. $2bd = c(b + d)$

Необходимо доказать, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Так как по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ эквивалентно равенству $ad = bc$ (основное свойство пропорции). Будем доказывать это эквивалентное равенство.

Из первого равенства $a + c = 2b$ выразим переменную $a$:

$a = 2b - c$

Рассмотрим второе данное нам равенство:

$2bd = c(b + d)$

Раскроем скобки в правой части:

$2bd = cb + cd$

Перенесем слагаемое $cd$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$2bd - cd = cb$

В левой части вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(2b - c) = cb$

Теперь подставим в это равенство выражение для $a$, которое мы получили из первого уравнения ($a = 2b - c$):

$d(a) = cb$

$ad = bc$

Мы получили равенство $ad = bc$. Поскольку $b \neq 0$ и $d \neq 0$, мы можем разделить обе части этого равенства на произведение $bd$:

$\frac{ad}{bd} = \frac{bc}{bd}$

Сокращая дроби, получаем:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1309. Постройте график функции, заданной формулой y = -1x.

$$\begin{gathered} y=-\frac{1}{\sqrt{x}}, x>0 \\ D\left(y\right)=\left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ проведем ее исследование, найдем ключевые точки и на их основе построим график.

1. Исследование функции

Сначала определим основные свойства функции.

• Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как корень извлекается из неотрицательного числа, а деление на ноль невозможно. Следовательно, $x > 0$. Это значит, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy). ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
• Область значений функции: Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ будет положительным. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной. Из-за знака "минус" перед дробью, вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ будет принимать только отрицательные значения. Следовательно, область значений функции: $y < 0$. Это значит, что график функции полностью расположен ниже оси Ox.
• Поведение функции на границах области определения:
  • При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к 0, а вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к $+\infty$. Тогда $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к $-\infty$. Это означает, что прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
  • При $x$, стремящемся к $+\infty$, знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к $+\infty$, а вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к 0. Тогда $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к 0 (оставаясь отрицательной). Это означает, что прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$. С увеличением $x$, значение $y$ также увеличивается (приближается к 0).

2. Нахождение точек для построения

Составим таблицу значений, выбрав удобные значения $x$ (являющиеся точными квадратами) для вычисления $y$.

3. Построение графика

На координатной плоскости отметим найденные точки: (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5), (9; -0.33). Соединим их плавной линией, учитывая, что график приближается к оси Oy при $x \to 0^+$ и к оси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ построен на рисунке выше. Это кривая, расположенная в четвертой координатной четверти, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$, и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

1310. Постройте график функции, заданной формулой:

а) y = |х + 2| + |х - 2|;

б) y = |х + 1| - |х - 1|.

a) y=|x+2|+|x-2|

Найдем нули подмодульных выражений:

$\begin{array}{ll}x+2=0 & x-2=0\\ x=-2& x=2\end{array}$

Есме x<-2, то y=-x-2-x+2

y=-2x

если -2≤x≤2, то y=x+2-x+2

y=4

если x>2, то y=x+2+x-2

y=2x

$y=\left\{\begin{array}{l}-2x, \text{если} x<-2\\ 4, \text{если} -2\le x\le 2\\ 2x, \text{если} x>2\end{array}\right.$

б) y=|x+1|-|x-1|

Найдём нули подмодульных выражений

$\begin{array}{ll}x+1=0 & x-1=0\\ x=-1& x=1\end{array}$

Если x<-1, то y=-x-1+x-1

y=-2

если -1≤x≤1, то y=x+1+x-1

y=2x

если x>1, то y=x+1-x+1

y=2

$y=\left\{\begin{array}{l}-2, \text{если} x<-1\\ 2x, \text{если} -1\le x\le 1\\ 2, \text{если} x>1\end{array}\right.$

а) $y = |x + 2| + |x - 2|$

Для построения графика этой функции необходимо раскрыть модули. Выражения под знаком модуля, $x+2$ и $x-2$, обращаются в ноль при $x = -2$ и $x = 2$ соответственно. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -2)$, $[-2; 2)$ и $[2; +\infty)$. Рассмотрим вид функции на каждом из этих промежутков.

1. При $x < -2$.
В этом случае оба подмодульных выражения отрицательны: $x+2 < 0$ и $x-2 < 0$.
Следовательно, $|x+2| = -(x+2) = -x-2$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Функция принимает вид: $y = (-x-2) + (-x+2) = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$.
В этом случае $x+2 \ge 0$, а $x-2 < 0$.
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
Функция принимает вид: $y = (x+2) + (-x+2) = 4$.

3. При $x \ge 2$.
В этом случае оба подмодульных выражения неотрицательны: $x+2 > 0$ и $x-2 \ge 0$.
Следовательно, $|x+2| = x+2$ и $|x-2| = x-2$.
Функция принимает вид: $y = (x+2) + (x-2) = 2x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График функции состоит из трёх частей: луча $y=-2x$ при $x \le -2$ (проходит через точки $(-2, 4)$ и $(-3, 6)$), горизонтального отрезка $y=4$ на промежутке $[-2, 2]$ и луча $y=2x$ при $x \ge 2$ (проходит через точки $(2, 4)$ и $(3, 6)$).

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y=-2x$ при $x \in (-\infty, -2]$, отрезка $y=4$ при $x \in [-2, 2]$ и луча $y=2x$ при $x \in [2, +\infty)$.

б) $y = |x + 1| - |x - 1|$

Раскроем модули, определив знаки подмодульных выражений. Точки, в которых выражения $x+1$ и $x-1$ равны нулю, это $x=-1$ и $x=1$. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 1)$ и $[1; +\infty)$.

1. При $x < -1$.
Оба выражения отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-1 < 0$.
Следовательно, $|x+1| = -(x+1)$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Функция принимает вид: $y = -(x+1) - (-(x-1)) = -x-1+x-1 = -2$.

2. При $-1 \le x < 1$.
Выражение $x+1 \ge 0$, а $x-1 < 0$.
Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = -(x-1)$.
Функция принимает вид: $y = (x+1) - (-(x-1)) = x+1+x-1 = 2x$.

3. При $x \ge 1$.
Оба выражения неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-1 \ge 0$.
Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = x-1$.
Функция принимает вид: $y = (x+1) - (x-1) = x+1-x+1 = 2$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию:

$y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -1 \\ 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

График этой функции состоит из трёх частей: горизонтального луча $y=-2$ при $x \le -1$, отрезка прямой $y=2x$ на промежутке $[-1, 1]$ (соединяет точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$) и горизонтального луча $y=2$ при $x \ge 1$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y=-2$ при $x \in (-\infty, -1]$, отрезка $y=2x$ при $x \in [-1, 1]$ и луча $y=2$ при $x \in [1, +\infty)$.

1311. Постройте график функции, заданной формулой y = x + 1x.

$$\begin{gathered} y=x+\frac{1}{x}y=x+\backslash frac\{1\}\{x\} \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;\; 0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty) \end{gathered}$$

Для построения графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции.

Функция содержит в знаменателе переменную $x$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:
$y(-x) = (-x) + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -y(x)$.
Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

3. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты.
В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Найдем пределы слева и справа от этой точки:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (+\infty) = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{1}{x}) = 0 + (-\infty) = -\infty$.
Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.
Будем искать асимптоту в виде прямой $y = kx + b$.
Коэффициент $k$ находится по формуле: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{1}{x^2}) = 1$.
Коэффициент $b$ находится по формуле: $b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Таким образом, прямая $y = x$ является наклонной асимптотой для графика функции.

4. Производная, экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем первую производную функции:
$y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$\frac{x^2-1}{x^2} = 0 \implies x^2-1=0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва делят область определения: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$.
- На интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.
- На интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$ производная $y' < 0$, значит, функция убывает.
Точка $x=1$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке: $y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Точка минимума: $(1, 2)$.
Точка $x=-1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -2$. Точка максимума: $(-1, -2)$.

5. Построение графика.

Сведем полученные данные воедино. График имеет две ветви. Одна расположена в первом координатном квадранте, проходит через точку минимума $(1, 2)$ и асимптотически приближается к оси $Oy$ при $x \to 0^+$ и к прямой $y=x$ при $x \to +\infty$. Вторая ветвь, симметричная первой относительно начала координат, расположена в третьем квадранте, проходит через точку максимума $(-1, -2)$ и асимптотически приближается к оси $Oy$ при $x \to 0^-$ и к прямой $y=x$ при $x \to -\infty$. График не пересекает оси координат.

Для большей точности построения найдем несколько дополнительных точек:
Если $x=2$, то $y=2+\frac{1}{2}=2.5$. Точка $(2, 2.5)$.
Если $x=0.5$, то $y=0.5+\frac{1}{0.5}=2.5$. Точка $(0.5, 2.5)$.
Симметричные им точки: $(-2, -2.5)$ и $(-0.5, -2.5)$.

Изобразим график функции:

Ответ:

График функции $y = x + \frac{1}{x}$ построен. Он представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первой координатной четверти, имеет локальный минимум в точке $(1, 2)$. Вторая ветвь находится в третьей координатной четверти, имеет локальный максимум в точке $(-1, -2)$. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось $Oy$) и наклонную $y=x$. График представлен на рисунке выше.

1312. Пересекает ли график функции y =3x + 1x прямую:

а) х = 0;

б) у = 0;

в) х = 3;

г) у = 3?

$y=\frac{3x+1}{x}; y=3+\frac{1}{x}y=\backslash frac\{3x+1\}\{x\}\; ;\; y=3+\backslash frac\{1\}\{x\}$

а) х=0 - не пересекает, так как область определения этой функции

$D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty }; 0\right)\cup \left(0; +\mathrm{\infty }\right)D(y)=(-\backslash infty;0)\; \backslash cup\; (0;+\backslash infty)$

б) у=0

$3+\frac{1}{x}=0; \frac{1}{x}=-3; -3x=1; x=-\frac{1}{3}$ пересекает в точке $\left(-\frac{1}{3}; 0\right)(-\backslash frac\{1\}\{3\};0)$

в) х=3

$y=3+\frac{1}{3}=3\frac{1}{3}y=3+\backslash frac\{1\}\{3\}=3\backslash frac\{1\}\{3\}$ пересекает в точке $\left(3; 3\frac{1}{3}\right)(3;3\backslash frac\{1\}\{3\})$

г) у=3

$3+\frac{1}{x}=3; \frac{1}{x}=03+\backslash frac\{1\}\{x\}=3;\; \backslash frac\{1\}\{x\}=0$ - не пересекает

а) x = 0; Чтобы определить, пересекает ли график функции $y = \frac{3x + 1}{x}$ прямую $x = 0$, необходимо проверить, определена ли функция в точке $x = 0$. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Поскольку функция не определена в точке $x = 0$, ее график не может пересекать прямую $x = 0$ (ось ординат). Эта прямая является вертикальной асимптотой для графика функции.
Ответ: не пересекает.

б) y = 0; Чтобы найти точки пересечения графика функции с прямой $y = 0$ (ось абсцисс), нужно решить уравнение $\frac{3x + 1}{x} = 0$. Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравниваем числитель к нулю:
$3x + 1 = 0$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
При $x = -\frac{1}{3}$ знаменатель не равен нулю, значит, это корень уравнения. Следовательно, график функции пересекает прямую $y = 0$ в точке с координатами $(-\frac{1}{3}; 0)$.
Ответ: пересекает.

в) x = 3; Чтобы проверить, пересекает ли график функции прямую $x = 3$, нужно найти значение функции в этой точке. Подставим $x = 3$ в уравнение функции:
$y = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Поскольку при $x = 3$ функция принимает конкретное значение $y = \frac{10}{3}$, график функции пересекает прямую $x = 3$ в точке с координатами $(3; \frac{10}{3})$.
Ответ: пересекает.

г) y = 3? Чтобы проверить, пересекает ли график функции прямую $y = 3$, нужно решить уравнение $\frac{3x + 1}{x} = 3$.
При условии, что $x \neq 0$, умножим обе части уравнения на $x$:
$3x + 1 = 3x$
Вычтем $3x$ из обеих частей уравнения:
$1 = 0$
Мы получили неверное равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, на графике функции нет точек с ординатой $y = 3$, и график не пересекает прямую $y = 3$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой для графика данной функции.
Ответ: не пересекает.

1313. Постройте график функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{2x+3}{x}, D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right) \\ y=2+\frac{3}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4-5x}{x}, D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right) \\ y=\frac{4}{x}-5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{12}{x-4}, x-4\ne 0; x\ne 4 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };4\right)\cup \left(4;+\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-\frac{6}{x+3}, x+3\ne 0, x\ne -3 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(-3;+\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

Для построения графиков данных функций, являющихся дробно-линейными, мы преобразуем их к виду $y = \frac{k}{x-a} + b$. Графиком такой функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{k}{x}$ на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали. Прямые $x=a$ и $y=b$ являются, соответственно, вертикальной и горизонтальной асимптотами графика.

Преобразуем функцию $y = \frac{2x + 3}{x}$, выделив целую часть: $y = \frac{2x}{x} + \frac{3}{x} = 2 + \frac{3}{x}$.

Полученная функция $y = \frac{3}{x} + 2$ имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=3$, $a=0$, $b=2$. Ее график — гипербола, которая получена из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Вертикальная асимптота графика — это прямая $x = 0$ (ось Oy). Горизонтальная асимптота — это прямая $y = 2$.

Так как коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:
при $x=1, y = 2 + \frac{3}{1} = 5$;
при $x=3, y = 2 + \frac{3}{3} = 3$;
при $x=-1, y = 2 + \frac{3}{-1} = -1$;
при $x=-3, y = 2 + \frac{3}{-3} = 1$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 2 + \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -1.5$. Координаты точки: $(-1.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет, так как $x \neq 0$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=0$ и $y=2$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

Преобразуем функцию $y = \frac{4 - 5x}{x}$, выделив целую часть: $y = \frac{4}{x} - \frac{5x}{x} = \frac{4}{x} - 5$.

Полученная функция $y = \frac{4}{x} - 5$ имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=4$, $a=0$, $b=-5$. Ее график — гипербола, которая получена из графика функции $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.

Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy). Горизонтальная асимптота — прямая $y = -5$.

Так как коэффициент $k=4 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=1, y = \frac{4}{1} - 5 = -1$;
при $x=2, y = \frac{4}{2} - 5 = -3$;
при $x=-1, y = \frac{4}{-1} - 5 = -9$;
при $x=-2, y = \frac{4}{-2} - 5 = -7$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{x} - 5 \implies \frac{4}{x} = 5 \implies x = 0.8$. Координаты точки: $(0.8, 0)$. Пересечения с осью Oy нет ($x \neq 0$).

Строим асимптоты $x=0$ и $y=-5$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-5$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

Функция $y = \frac{12}{x - 4}$ уже представлена в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=12$, $a=4$, $b=0$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота — прямая $x = 4$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox).

Так как коэффициент $k=12 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=6, y = \frac{12}{6-4} = 6$;
при $x=8, y = \frac{12}{8-4} = 3$;
при $x=2, y = \frac{12}{2-4} = -6$;
при $x=0, y = \frac{12}{0-4} = -3$.
Пересечения с осью Ox нет, так как $y=0$ является асимптотой. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

Строим асимптоты $x=4$ и $y=0$, отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=4$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

Функцию $y = -\frac{6}{x + 3}$ можно записать в виде $y = \frac{-6}{x - (-3)} + 0$. Это вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-6$, $a=-3$, $b=0$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота — прямая $x = -3$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox).

Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=0, y = -\frac{6}{0+3} = -2$;
при $x=-1, y = -\frac{6}{-1+3} = -3$;
при $x=-4, y = -\frac{6}{-4+3} = 6$;
при $x=-5, y = -\frac{6}{-5+3} = 3$.
Пересечения с осью Ox нет ($y=0$ - асимптота). Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Строим асимптоты $x=-3$ и $y=0$, отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно этих асимптот.