Номер 1309, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1309, страница 285.

1309. Постройте график функции, заданной формулой y = -1x.

$$\begin{gathered} y=-\frac{1}{\sqrt{x}}, x>0 \\ D\left(y\right)=\left(0; +\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

x	116	19	14	1	4	9	16
y	-4	-3	-2	-1	-12	-13	-14

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ проведем ее исследование, найдем ключевые точки и на их основе построим график.

1. Исследование функции

Сначала определим основные свойства функции.

• Область определения функции (ОДЗ): Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как корень извлекается из неотрицательного числа, а деление на ноль невозможно. Следовательно, $x > 0$. Это значит, что график функции полностью расположен в правой полуплоскости (справа от оси Oy). ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
• Область значений функции: Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ будет положительным. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной. Из-за знака "минус" перед дробью, вся функция $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ будет принимать только отрицательные значения. Следовательно, область значений функции: $y < 0$. Это значит, что график функции полностью расположен ниже оси Ox.
• Поведение функции на границах области определения:
  • При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$), знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к 0, а вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к $+\infty$. Тогда $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к $-\infty$. Это означает, что прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
  • При $x$, стремящемся к $+\infty$, знаменатель $\sqrt{x}$ также стремится к $+\infty$, а вся дробь $\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к 0. Тогда $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ стремится к 0 (оставаясь отрицательной). Это означает, что прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.
• Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$. С увеличением $x$, значение $y$ также увеличивается (приближается к 0).

2. Нахождение точек для построения

Составим таблицу значений, выбрав удобные значения $x$ (являющиеся точными квадратами) для вычисления $y$.

$x$	$y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$	Точка $(x; y)$
0.25 (или 1/4)	$-\frac{1}{\sqrt{1/4}} = -2$	(0.25; -2)
1	$-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$	(1; -1)
4	$-\frac{1}{\sqrt{4}} = -0.5$	(4; -0.5)
9	$-\frac{1}{\sqrt{9}} \approx -0.33$	(9; -0.33)

3. Построение графика

На координатной плоскости отметим найденные точки: (0.25; -2), (1; -1), (4; -0.5), (9; -0.33). Соединим их плавной линией, учитывая, что график приближается к оси Oy при $x \to 0^+$ и к оси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ построен на рисунке выше. Это кривая, расположенная в четвертой координатной четверти, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$, и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.