Номер 1313, страница 285 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1313, страница 285.

1313. Постройте график функции:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}y=\frac{2x+3}{x}, D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right) \\ y=2+\frac{3}{x} \end{gathered}$$

x	0,5	1	1,5	2	3	6	-0,5	-1	-1,5	-2	-3	-6
y	8	5	4	3,5	3	2,5	-4	-1	0	0,5	1	1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}y=\frac{4-5x}{x}, D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right) \\ y=\frac{4}{x}-5 \end{gathered}$$

x	0,5	1	2	4	8	-0,5	-1	-2	-4	-8
y	3	-1	-3	-4	-4,5	-13	-9	-7	-6	-5,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}y=\frac{12}{x-4}, x-4\ne 0; x\ne 4 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };4\right)\cup \left(4;+\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

x	5	6	7	8	10	16	3	2	1	0	-2	-8
y	12	6	4	3	2	1	-12	-6	-4	-3	-2	-1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}y=-\frac{6}{x+3}, x+3\ne 0, x\ne -3 \\ D\left(y\right)=\left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(-3;+\mathrm{\infty }\right) \end{gathered}$$

x	-1,5	-1	0	1	3	9	-4	-5	-6	-7	-9	-4,5
y	-4	-3	-2	-1,5	-1	-0,5	6	3	2	1,5	1	4

Для построения графиков данных функций, являющихся дробно-линейными, мы преобразуем их к виду $y = \frac{k}{x-a} + b$. Графиком такой функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{k}{x}$ на $a$ единиц по горизонтали и на $b$ единиц по вертикали. Прямые $x=a$ и $y=b$ являются, соответственно, вертикальной и горизонтальной асимптотами графика.

а)

Преобразуем функцию $y = \frac{2x + 3}{x}$, выделив целую часть: $y = \frac{2x}{x} + \frac{3}{x} = 2 + \frac{3}{x}$.

Полученная функция $y = \frac{3}{x} + 2$ имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=3$, $a=0$, $b=2$. Ее график — гипербола, которая получена из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Вертикальная асимптота графика — это прямая $x = 0$ (ось Oy). Горизонтальная асимптота — это прямая $y = 2$.

Так как коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:
при $x=1, y = 2 + \frac{3}{1} = 5$;
при $x=3, y = 2 + \frac{3}{3} = 3$;
при $x=-1, y = 2 + \frac{3}{-1} = -1$;
при $x=-3, y = 2 + \frac{3}{-3} = 1$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 2 + \frac{3}{x} \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -1.5$. Координаты точки: $(-1.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет, так как $x \neq 0$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=0$ и $y=2$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

б)

Преобразуем функцию $y = \frac{4 - 5x}{x}$, выделив целую часть: $y = \frac{4}{x} - \frac{5x}{x} = \frac{4}{x} - 5$.

Полученная функция $y = \frac{4}{x} - 5$ имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=4$, $a=0$, $b=-5$. Ее график — гипербола, которая получена из графика функции $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.

Вертикальная асимптота графика — прямая $x = 0$ (ось Oy). Горизонтальная асимптота — прямая $y = -5$.

Так как коэффициент $k=4 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=1, y = \frac{4}{1} - 5 = -1$;
при $x=2, y = \frac{4}{2} - 5 = -3$;
при $x=-1, y = \frac{4}{-1} - 5 = -9$;
при $x=-2, y = \frac{4}{-2} - 5 = -7$.
Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{x} - 5 \implies \frac{4}{x} = 5 \implies x = 0.8$. Координаты точки: $(0.8, 0)$. Пересечения с осью Oy нет ($x \neq 0$).

Строим асимптоты $x=0$ и $y=-5$, отмечаем найденные точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-5$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

в)

Функция $y = \frac{12}{x - 4}$ уже представлена в виде $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=12$, $a=4$, $b=0$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота — прямая $x = 4$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox).

Так как коэффициент $k=12 > 0$, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно асимптот.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=6, y = \frac{12}{6-4} = 6$;
при $x=8, y = \frac{12}{8-4} = 3$;
при $x=2, y = \frac{12}{2-4} = -6$;
при $x=0, y = \frac{12}{0-4} = -3$.
Пересечения с осью Ox нет, так как $y=0$ является асимптотой. Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.

Строим асимптоты $x=4$ и $y=0$, отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=4$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно этих асимптот.

г)

Функцию $y = -\frac{6}{x + 3}$ можно записать в виде $y = \frac{-6}{x - (-3)} + 0$. Это вид $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-6$, $a=-3$, $b=0$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{-6}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Вертикальная асимптота — прямая $x = -3$. Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$ (ось Ox).

Так как коэффициент $k=-6 < 0$, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно асимптот.

Найдем координаты нескольких точек для построения:
при $x=0, y = -\frac{6}{0+3} = -2$;
при $x=-1, y = -\frac{6}{-1+3} = -3$;
при $x=-4, y = -\frac{6}{-4+3} = 6$;
при $x=-5, y = -\frac{6}{-5+3} = 3$.
Пересечения с осью Ox нет ($y=0$ - асимптота). Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Строим асимптоты $x=-3$ и $y=0$, отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно этих асимптот.