Номер 1302, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1302, страница 284.

1302. Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?

Пусть x км/ч - скорость первого автомобиля, y км/ч скорость второго автомобиля. Примем весь путь за 1. Зная, что они встретили через 3ч, составим уравнение 3(x+y)=1. $t_1=\frac{1}{y}\text{ч}$ - время, за которое прошёл всё расстояние первый автомобиль

$t_2=\frac{1}{y}\text{ч}$ - время, за которое прошёл всё расстояние второй автомобиль. Зная, что первый автомобиль потратил на весь путь на 1,1ч больше, чем второй, составим уравнение $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1,1$

Получили систему

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(x+y\right)=1\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1,1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+3y=1\\ \frac{y-x}{xy}=1,1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+3y=1\\ y-x=1,1xy\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y-1,1xy=x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y(1-1,1x)=x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}3x+3y=1\\ y=\frac{x}{1-1,1x}\end{array}\right. \\ 3x+3·\frac{x}{1-1,1x}=1 \\ 3x\left(1-1,1x\right)+3x=1-1,1x \\ 3x-3,3x^2+3x+1,1x-1=0 \\ -3,3x^2+7,1x-1=0\mathrm{/}·\left(-1\right) \\ 3,3x^2-7,1x+1=0 \\ D={\left(-7,1\right)}^2-4·3,3·1=50,41-13,2=37,21 \\ x=\frac{7,1\pm \sqrt{37,21}}{6,6}; x=\frac{7,1\pm 6,1}{6,6} \\ {x}_1=\frac{1}{6,6}=\frac{10}{66}=\frac{5}{33} \\ {x}_2=\frac{13,2}{6,6}=\frac{132}{66}=2 \end{gathered}$$

Если $x=2x=2$, то , что не соответствует условию задачи y>0,

если $x=\frac{5}{33}x=\backslash frac\{5\}\{33\}$, то

$$\begin{gathered} y=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-1,1·{\displaystyle \frac{5}{33}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{5,5}{33}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{55}{330}}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{5}{30}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{6}}}=\frac{{\displaystyle \frac{5}{33}}}{{\displaystyle \frac{5}{6}}}=\frac{5}{33}:\frac{5}{6}=\frac{5·6}{33·5}=\frac{2}{11} \\ \frac{2}{11}:\frac{5}{33}=\frac{2·33}{11·5}=\frac{2·3}{5}=\frac{6}{5}=1,2 \end{gathered}$$

Ответ: в 1,2 раза

Пусть $v_1$ — скорость первого автомобиля (из А в В), а $v_2$ — скорость второго автомобиля (из В в А). Пусть $S$ — расстояние между А и В.

Автомобили выехали одновременно и встретились через 3 часа. За это время первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 3$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 3$. В момент встречи они вместе преодолели все расстояние $S$, следовательно:$S = S_1 + S_2 = 3v_1 + 3v_2 = 3(v_1 + v_2)$

Полное время, которое требуется первому автомобилю, чтобы проехать расстояние $S$, равно $t_1 = S/v_1$.Полное время, которое требуется второму автомобилю, чтобы проехать расстояние $S$, равно $t_2 = S/v_2$.

По условию задачи, первый автомобиль пришёл в В на 1,1 часа позже, чем второй в А. Это означает, что $t_1 = t_2 + 1.1$.Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{S}{v_1} = \frac{S}{v_2} + 1.1$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $S = 3(v_1 + v_2)$:$\frac{3(v_1 + v_2)}{v_1} = \frac{3(v_1 + v_2)}{v_2} + 1.1$

Разделим левую и правую части на слагаемые:$3(\frac{v_1}{v_1} + \frac{v_2}{v_1}) = 3(\frac{v_1}{v_2} + \frac{v_2}{v_2}) + 1.1$$3(1 + \frac{v_2}{v_1}) = 3(\frac{v_1}{v_2} + 1) + 1.1$$3 + 3\frac{v_2}{v_1} = 3\frac{v_1}{v_2} + 3 + 1.1$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:$3\frac{v_2}{v_1} = 3\frac{v_1}{v_2} + 1.1$

Вопрос задачи — найти, во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого, то есть найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$. Обозначим это отношение как $k$:$k = \frac{v_2}{v_1}$Тогда отношение $\frac{v_1}{v_2}$ будет равно $\frac{1}{k}$.

Подставим $k$ в наше уравнение:$3k = \frac{3}{k} + 1.1$

Умножим обе части уравнения на $k$ (так как скорость не может быть равна нулю, $k \neq 0$):$3k^2 = 3 + 1.1k$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$3k^2 - 1.1k - 3 = 0$

Для удобства решения умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:$30k^2 - 11k - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-11)^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-30) = 121 + 3600 = 3721$Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$k_1 = \frac{11 + 61}{2 \cdot 30} = \frac{72}{60} = \frac{12}{10} = 1.2$$k_2 = \frac{11 - 61}{2 \cdot 30} = \frac{-50}{60} = -\frac{5}{6}$

Так как $k$ представляет собой отношение скоростей, которые являются положительными величинами, то и само отношение должно быть положительным. Поэтому выбираем корень $k = 1.2$.

Таким образом, скорость второго автомобиля в 1,2 раза больше скорости первого.

Ответ: в 1,2 раза.