Номер 1297, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1297, страница 284.

1297. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?

Пусть х м/с - скорость первого мальчика, y м/с - скорость второго мальчика, тогда $\frac{10}{x}\text{с}$ - время, потраченное первым мальчиком на расстояние 10м, а $\frac{10}{y}\text{с}$ - время, потраченное вторым мальчиком на расстояние 10м. Зная, что первый мальчик потратил на это расстояние на 1с больше, чем второй, получим уравнение $\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1 \left(1\right)$

Вторая встреча произошла через 10c после старта первого мальчика и, значит, через 9с после старта второго мальчика.

Тогда 10х м пробежал первый мальчик и 9у м - второй. Зная, что второй мальчик пробежал всю дистанцию и побежал обратно, расстояние, которое они пробежали вдвоём равно 2*50=100м. Составим уравнение $10x+9y=100 \left(2\right)$

Получим систему уравнений

1) $\left\{\begin{array}{l}\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1 /xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10y-10x=xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}19y=100+xy\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}19y-xy=100\\ 10x+9y=100\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y(19-x)=100\\ 10x+9y=100\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{100}{19-x}\\ 10x+9·\frac{100}{19-x}=100 /·(19-x)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} 10x(19-2)+900=100(19-x) \\ 190x-10x^2+900=1900-100x \\ -10x^2+190x+100x+900-1900=0 \\ -10x^2+290x-1000=0 /:(-10) \\ {x}^2-29x+100=D \\ D={(-29)}^2-4·1·100=841-400=441 \\ x=\frac{29\pm \sqrt{441}}{2}; x=\frac{29\pm 21}{2} \\ {x}_1=25; x_2=4 \end{gathered}$$

Если х=25, то 19-x=19-25<0,

если х=4, то 19-x=19-4=15≠0

$y=\frac{100}{19-x}=\frac{100}{19-4}=\frac{100}{15}=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\text{м/с}$ - скорость второго мальчика

2) 4*10=40(м) - пробежал первый мальчик

3) 50-40=10(м)

Ответ: 10 м

Для решения задачи определим скорости обоих мальчиков. Пусть $v_1$ — скорость первого мальчика, а $v_2$ — скорость второго мальчика. Длина дорожки составляет $L = 50$ м.

Мальчики стартовали с интервалом в 1 секунду. Второй мальчик догнал первого на расстоянии 10 м от старта. Пусть $t$ — это время, которое бежал второй мальчик до момента обгона. Тогда первый мальчик к этому моменту бежал $(t + 1)$ секунд. Так как они оба пробежали 10 метров, мы можем составить уравнения для их скоростей:

$v_1 \cdot (t + 1) = 10$

$v_2 \cdot t = 10$

Отсюда можно выразить скорости через время $t$: $v_1 = \frac{10}{t+1}$ и $v_2 = \frac{10}{t}$.

Следующая встреча произошла через 10 секунд после старта первого мальчика. За эти 10 секунд первый мальчик пробежал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 10 = 10v_1$. Он всё время бежал от старта к финишу.

Второй мальчик к моменту второй встречи бежал в течение $10 - 1 = 9$ секунд. За это время он добежал до конца 50-метровой дорожки и побежал обратно с той же скоростью $v_2$. Общее расстояние, которое он преодолел, составляет $S_2 = v_2 \cdot 9 = 9v_2$.

Поскольку он добежал до конца и повернул, его положение на дорожке (расстояние от линии старта) в момент второй встречи можно вычислить следующим образом: он пробежал 50 м до конца дорожки, а затем оставшееся расстояние $S_{2,обратно} = 9v_2 - 50$ в обратном направлении. Таким образом, его расстояние от старта равно $x_2 = 50 - S_{2,обратно} = 50 - (9v_2 - 50) = 100 - 9v_2$.

В момент встречи их положения совпали, то есть расстояние от старта у них было одинаковым: $10v_1 = 100 - 9v_2$.

Теперь подставим в это уравнение выражения для скоростей, которые мы получили ранее:

$10 \cdot \left(\frac{10}{t+1}\right) = 100 - 9 \cdot \left(\frac{10}{t}\right)$

$\frac{100}{t+1} = 100 - \frac{90}{t}$

Разделим всё уравнение на 10 для упрощения:

$\frac{10}{t+1} = 10 - \frac{9}{t}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{10}{t+1} = \frac{10t - 9}{t}$.

Используем свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$10t = (t+1)(10t - 9)$

$10t = 10t^2 - 9t + 10t - 9$

$10t = 10t^2 + t - 9$

Получаем квадратное уравнение: $10t^2 - 9t - 9 = 0$.

Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441 = 21^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 21}{20}$

Так как время $t$ (время движения второго мальчика) должно быть положительным, выбираем корень со знаком "плюс":

$t = \frac{9 + 21}{20} = \frac{30}{20} = 1.5$ с.

Это время, которое бежал второй мальчик до первого обгона. Теперь мы можем найти скорости мальчиков:

$v_1 = \frac{10}{t+1} = \frac{10}{1.5+1} = \frac{10}{2.5} = 4$ м/с.

$v_2 = \frac{10}{t} = \frac{10}{1.5} = \frac{20}{3}$ м/с.

Вторая встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика. Найдем, какое расстояние от старта он пробежал за это время:

$S_{встречи} = v_1 \cdot 10 \text{ с} = 4 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 40$ м.

В задаче спрашивается, на каком расстоянии от конца дорожки они встретились. Для этого вычтем найденное расстояние из общей длины дорожки:

Расстояние от конца дорожки = $L - S_{встречи} = 50 \text{ м} - 40 \text{ м} = 10$ м.

Ответ: 10 м.