Номер 1294, страница 284 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1294, страница 284.

1294. Докажите, что при любом натуральном n, большем 2, корни уравнения x +1x = n — иррациональные числа.

При n>2, n∈N,

$$\begin{gathered} x+\frac{1}{x}=n /·x\ne 0 \\ {x}^2+1=nx \\ {x}^2-nx+1=0 \\ D={\left(-n\right)}^2-4·1·1=n^2-4 \end{gathered}$$

Если , корней нет,

если $n^2-4=0n^2-4=0$, один корень
$$\begin{gathered} n^2=4 \\ n=2\in N, n=-2\notin N, \end{gathered}$$

если $n^2-4>0n^2-4>0$, два корня

$x=\frac{n\pm \sqrt{n^2-4}}{2}x=\backslash frac\{n\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{n^2-4\}\}\{2\}$ - иррациональные числа при n>2

Для доказательства утверждения преобразуем исходное уравнение $x + \frac{1}{x} = n$. Область допустимых значений переменной $x$ — все числа, кроме нуля ($x \neq 0$). Умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 + 1 = nx$

Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - nx + 1 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = (-n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = n^2 - 4$

Соответственно, корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{n \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$

Корни уравнения будут рациональными числами в том и только в том случае, если дискриминант $D = n^2 - 4$ является полным квадратом целого числа (так как $n$ — натуральное число). Докажем, что это невозможно при заданных условиях.

Докажем от противного. Предположим, что для некоторого натурального числа $n > 2$ выражение $n^2 - 4$ является полным квадратом. То есть, $n^2 - 4 = k^2$, где $k$ — некоторое неотрицательное целое число.

Перепишем равенство в виде $n^2 - k^2 = 4$ и разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(n - k)(n + k) = 4$

Так как $n$ — натуральное число, большее 2, и $k = \sqrt{n^2-4}$ — неотрицательное целое, то множители $(n-k)$ и $(n+k)$ являются целыми числами. Кроме того, $n^2 > n^2-4=k^2$, откуда $n>k$, следовательно $n-k$ — положительное целое число. Значит, оба множителя — натуральные числа, причем $n+k \ge n-k$.

Рассмотрим возможные варианты разложения числа 4 на два натуральных множителя:

1) $n - k = 1$ и $n + k = 4$. Сложив эти два уравнения, получаем $2n = 5$, откуда $n = 2.5$. Это значение не является натуральным, что противоречит условию задачи.

2) $n - k = 2$ и $n + k = 2$. Из этих уравнений следует, что $k=0$ и $n=2$. Это противоречит условию задачи, согласно которому $n > 2$.

Поскольку все возможные случаи приводят к противоречию, наше исходное предположение неверно. Следовательно, выражение $n^2 - 4$ не является полным квадратом ни для какого натурального числа $n > 2$.

Это означает, что $\sqrt{n^2 - 4}$ является иррациональным числом. Корни уравнения $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$ являются результатом сложения или вычитания рационального числа ($n$) и иррационального ($\sqrt{n^2 - 4}$) с последующим делением на рациональное число (2). Результат таких операций всегда является иррациональным числом.

Таким образом, доказано, что при любом натуральном $n > 2$ корни уравнения являются иррациональными числами.

Ответ: Утверждение доказано. Корни уравнения сводятся к $x = \frac{n \pm \sqrt{n^2 - 4}}{2}$. Для любого натурального $n > 2$ дискриминант $n^2-4$ не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{n^2 - 4}$ — иррациональное число. Это, в свою очередь, означает, что корни уравнения также являются иррациональными.