Номер 1290, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1290, страница 283.

1290. Решите уравнение (х² – а²)² = 4ах + 1 относительно х.

$$\begin{gathered} {\left(x^2-a^2\right)}^2=4ax+1 \\ {\left(\left(x-a\right)\left(x+a\right)\right)}^2=x^2+2ax+a^2-\left(x^2-2ax+a^2\right)+1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2={\left(x+a\right)}^2-{\left(x-a\right)}^2+1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2-\left({\left(x+a\right)}^2-{\left(x-a\right)}^2\right)=1 \\ {\left(x-a\right)}^2{\left(x+a\right)}^2-{\left(x+a\right)}^2+{\left(x-a\right)}^2=1 \\ {\left(x-a\right)}^2\left({\left(x+a\right)}^2+1\right)=1+{\left(x+a\right)}^2 \\ {\left(x-a\right)}^2=\frac{1+{\left(x+a\right)}^2}{1+{\left(x+a\right)}^2} \\ {\left(x-a\right)}^2=1 \\ \begin{array}{lcl}x-a=1& \text{или}& x-a=-1\\ x=a+1& & x=a-1\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $x=a+1; x=a-1x=a+1;\; \backslash quad\; x=a-1$

Исходное уравнение: $(x^2 - a^2)^2 = 4ax + 1$.

Это уравнение является уравнением четвертой степени относительно переменной $x$. Для его решения преобразуем обе части так, чтобы они стали полными квадратами. Сначала раскроем скобки в левой части:

$x^4 - 2a^2x^2 + a^4 = 4ax + 1$

Для того чтобы в левой части получился полный квадрат суммы, а не разности, прибавим к обеим частям уравнения выражение $4a^2x^2$:

$(x^4 - 2a^2x^2 + a^4) + 4a^2x^2 = (4ax + 1) + 4a^2x^2$

Упростим левую часть и перегруппируем слагаемые в правой части:

$x^4 + 2a^2x^2 + a^4 = 4a^2x^2 + 4ax + 1$

Теперь обе части уравнения можно представить в виде полных квадратов:

$(x^2 + a^2)^2 = (2ax + 1)^2$

Уравнение вида $A^2 = B^2$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x^2 + a^2 = 2ax + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат разности:

$(x - a)^2 - 1 = 0$

$(x - a)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x - a = 1$ или $x - a = -1$

Отсюда находим два действительных корня:

$x_1 = a + 1$

$x_2 = a - 1$

Случай 2: $x^2 + a^2 = -(2ax + 1)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + a^2 = -2ax - 1$

$x^2 + 2ax + a^2 + 1 = 0$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат суммы:

$(x + a)^2 + 1 = 0$

$(x + a)^2 = -1$

Данное уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным (т.е. $(x + a)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $a$).

Таким образом, единственными действительными решениями исходного уравнения являются те, что были найдены в первом случае.

Ответ: $x = a + 1; x = a - 1$.