Номер 1285, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1285, страница 283.

1285. Функция у от х задана формулой $\frac{y = ax + b}{cx + d}$, где ad – bc ≠ 0.

Пусть значениям аргумента х₁, х₂, х₃ и х₄ соответствуют значения функции у₁, у₂, у₃ и у₄. Докажите, что

$y=\frac{ax+b}{cx+d}y=\backslash frac\{ax+b\}\{cx+d\}$, где ad-bc≠0

$$\begin{gathered} \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2} \\ {y}_3-y_1=\frac{a{x}_3+b}{c{x}_3+d}-\frac{a{x}_1+b}{c{x}_1+d}= \\ =\frac{\left(a{x}_3+b\right)\left(c{x}_1+d\right)-\left(a{x}_1+b\right)\left(c{x}_3+d\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \end{gathered}$$
$=\frac{ac{x}_1{x}_3+ad{x}_3+bc{x}_1+bd-ac{x}_1{x}_3-ad{x}_1-bc{x}_3-bd}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}=$
$$\begin{gathered} =\frac{\left(ad{x}_3-ad{x}_1\right)+\left(bc{x}_1-bc{x}_3\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \\ =\frac{ad\left(x_3-x_1\right)+bc\left(x_1-x_3\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}= \\ =\frac{ad\left(x_3-x_1\right)-bc\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)} \end{gathered}$$

Аналогично,

$$\begin{gathered} y_3-y_2=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_2\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_2+d\right)} \\ {y}_4-y_1=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_1\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_1+d\right)} \\ {y}_4-y_2=\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_2+d\right)} \\ \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2}=\frac{\left(y_3-y_1\right)\left(y_4-y_2\right)}{\left(y_3-y_2\right)\left(y_4-y_1\right)}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_1\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}·\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_2+d\right)}}}{\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_3-x_2\right)}{\left(c{x}_3+d\right)\left(c{x}_2+d\right)}·\frac{\left(ad-bc\right)\left(x_4-x_1\right)}{\left(c{x}_4+d\right)\left(c{x}_1+d\right)}}= \\ =\frac{{\displaystyle \frac{x_3-x_1}{c{x}_1+d}·\frac{x_4-x_2}{c{x}_2+d}}}{\frac{x_3-x_2}{c{x}_2+d}·\frac{x_4-x_1}{c{x}_1+d}}= \\ =\frac{x_3-x_1}{c{x}_1+d}·\frac{x_4-x_2}{c{x}_2+d}·\frac{c{x}_2+d}{x_3-x_2}·\frac{c{x}_1+d}{x_4-x_1}= \end{gathered}$$
$=\frac{\left(x_3-x_1\right)\left(x_4-x_2\right)}{\left(x_3-x_2\right)\left(x_4-x_1\right)}=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2},$ что и требовалось доказать

Для доказательства данного тождества необходимо выразить разность значений функции $y_i - y_j$ через соответствующие значения аргумента $x_i$ и $x_j$.

Функция задана формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Найдем разность $y_i - y_j$ для двух произвольных аргументов $x_i$ и $x_j$:
$y_i - y_j = \frac{ax_i+b}{cx_i+d} - \frac{ax_j+b}{cx_j+d}$

Приведем дроби к общему знаменателю:
$y_i - y_j = \frac{(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(ax_i+b)(cx_j+d) - (ax_j+b)(cx_i+d) = (acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd) - (acx_jx_i + adx_j + bcx_i + bd)$
$= acx_ix_j + adx_i + bcx_j + bd - acx_ix_j - adx_j - bcx_i - bd$
$= (adx_i - adx_j) + (bcx_j - bcx_i)$
$= ad(x_i - x_j) - bc(x_i - x_j)$
$= (ad-bc)(x_i - x_j)$

Таким образом, мы получили общую формулу для разности значений функции:
$y_i - y_j = \frac{(ad-bc)(x_i - x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}$

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого тождества. Знак ":" в данном контексте означает деление.
Левая часть = $\frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} : \frac{y_4 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{y_3 - y_1}{y_3 - y_2} \cdot \frac{y_4 - y_2}{y_4 - y_1}$

Подставим в это выражение полученную ранее формулу для каждой из разностей:
Левая часть = $\frac{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_3 - x_2)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}} \cdot \frac{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_2)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}}{\frac{(ad-bc)(x_4 - x_1)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}}$

Поскольку по условию $ad-bc \neq 0$, мы можем сократить этот множитель во всех дробях. Также сокращаются множители $(cx_3+d)$ в первой дроби и $(cx_4+d)$ во второй.
Левая часть = $\frac{\frac{x_3 - x_1}{cx_1+d}}{\frac{x_3 - x_2}{cx_2+d}} \cdot \frac{\frac{x_4 - x_2}{cx_2+d}}{\frac{x_4 - x_1}{cx_1+d}}$

Теперь упростим получившиеся "четырехэтажные" дроби:
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{cx_2+d}{cx_1+d}\right) \cdot \left(\frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$

Перегруппируем множители и выполним сокращение:
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}\right) \cdot \left(\frac{cx_2+d}{cx_1+d} \cdot \frac{cx_1+d}{cx_2+d}\right)$
Левая часть = $\left(\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}\right) \cdot 1 = \frac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}$

Это выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества:
Правая часть = $\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \frac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1} = \frac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}$

Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.