Номер 1281, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1281, страница 283.

1281. Найдите целые значения х, при которых функция принимает целые значения.

$$\begin{gathered} y=\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}} \\ {y}^2={(\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}- \\ -\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}})}^2 \\ {y}^2=20+2\sqrt{91+6x-x^2}+20-2\sqrt{91+6x-x^2}- \\ -2\sqrt{\left(20+2\sqrt{91+6x-x^2}\right)\left(20-2\sqrt{91+6x-x^2}\right)} \\ {y}^2=40-2\sqrt{400-4\left(91+6x-x^2\right)} \\ {y}^2=40-2\sqrt{4\left(100-91-6x+x^2\right)} \\ {y}^2=40-4\sqrt{9-6x+x^2} \\ {y}^2=40-4\sqrt{{\left(3-x\right)}^2} \\ {y}^2=40-4·\mathrm{\mid }3-x\mathrm{\mid } \\ {y}^2=40-4\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid } \\ \mathrm{y}=\pm \sqrt{40-4\mathrm{\mid }\mathrm{x}-3\mathrm{\mid }} \\ y=\pm \sqrt{4\left(10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\right)} \\ y=\pm 2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }} \end{gathered}$$
$y=-2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }}$ не подходит по условию y≥0
$$\begin{gathered} y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }} \\ 10-\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\ge 0 \\ \mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }\le 10 \\ \left\{\begin{array}{l}x-3\ge 0\\ x-3\le 10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ge 3\\ x\le 13\end{array}\right.x\in [3; 13] \\ \left\{\begin{array}{l}x-3<0\\ 3-x\le 10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\\ -x\le 7\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<3\\ x\ge -7\end{array}\right.x\in [-7; 3) \end{gathered}$$

Объединяя два промежутка, получим $x\in [-7; 13]x\; \backslash in\; [-7;\; 13]$

Так как $x\in Zx\; \backslash in\; Z$, то

$$\begin{gathered} ✓x=-7; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-7-3\mathrm{\mid }}=2·0=0\in Z \\ ✓x=-6; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-6-3\mathrm{\mid }}=2·1=2\in Z \\ x=-5; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-5-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ x=-4; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-4-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ ✓x=-3; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-3-3\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z \\ x=-2; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-2-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ x=-1; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }-1-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=0; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }0-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{7}\notin Z \\ x=1; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }1-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{8}\notin Z \\ ✓x=2; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }2-3\mathrm{\mid }}=2·3=6\in Z \\ x=3; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }3-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{10}\notin Z \\ ✓x=4; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }4-3\mathrm{\mid }}=2·3=6\in Z \\ x=5; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }5-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{8}\notin Z \\ x=6; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }6-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{7}\notin Z \\ x=7; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }7-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{6}\notin Z \\ x=8; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }8-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{5}\notin Z \\ ✓x=9; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }9-3\mathrm{\mid }}=2·2=4\in Z \\ x=10; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }10-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{3}\notin Z \\ x=11; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }11-3\mathrm{\mid }}=2\sqrt{2}\notin Z \\ ✓x=12; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }12-3\mathrm{\mid }}=2\in Z \\ ✓x=13; y=2\sqrt{10-\mathrm{\mid }13-3\mathrm{\mid }}=0\in Z \end{gathered}$$

Ответ: -7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13

Для решения задачи сначала найдем область определения функции, затем упростим ее выражение и, наконец, найдем целые значения $x$, при которых функция принимает целые значения.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Обозначим для удобства $z = 91 + 6x - x^2$.

Для существования функции должны выполняться два условия:

1. 1) $z = 91 + 6x - x^2 \ge 0$
2. 2) $20 - 2\sqrt{z} \ge 0$

Рассмотрим второе неравенство:

$20 \ge 2\sqrt{z}$

$10 \ge \sqrt{z}$

Возведем обе части в квадрат:

$100 \ge z$

Подставим выражение для $z$:

$100 \ge 91 + 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

$(x-3)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $x$.

Теперь рассмотрим первое неравенство:

$91 + 6x - x^2 \ge 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$x^2 - 6x - 91 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 91 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(-91) = 36 + 364 = 400 = 20^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 20}{2} = -7$ и $x_2 = \frac{6 + 20}{2} = 13$.

Неравенство $(x+7)(x-13) \le 0$ выполняется при $x \in [-7, 13]$.

Таким образом, область определения функции для $x$ — это отрезок $[-7, 13]$. Поскольку по условию $x$ — целое число, то $x$ может принимать целые значения от -7 до 13 включительно.

2. Упрощение выражения для функции

Упростим данное выражение. Заметим, что из области определения $20 + 2\sqrt{z} \ge 20 - 2\sqrt{z}$, поэтому $y \ge 0$. Возведем $y$ в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{20 + 2\sqrt{z}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{z}}\right)^2$

$y^2 = (20 + 2\sqrt{z}) - 2\sqrt{(20 + 2\sqrt{z})(20 - 2\sqrt{z})} + (20 - 2\sqrt{z})$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{20^2 - (2\sqrt{z})^2} = 40 - 2\sqrt{400 - 4z} = 40 - 2\sqrt{4(100-z)}$

$y^2 = 40 - 4\sqrt{100-z}$

Ранее мы нашли, что $100-z \ge 0$. Подставим выражение для $z$:

$100 - z = 100 - (91 + 6x - x^2) = 9 - 6x + x^2 = (x-3)^2$.

Тогда:

$y^2 = 40 - 4\sqrt{(x-3)^2} = 40 - 4|x-3|$.

Так как $y \ge 0$, извлечем квадратный корень:

$y = \sqrt{40 - 4|x-3|} = \sqrt{4(10 - |x-3|)} = 2\sqrt{10 - |x-3|}$.

Итак, мы получили упрощенное выражение для функции: $y = 2\sqrt{10 - |x-3|}$.

3. Поиск целых значений $x$

По условию, $x$ — целое число, следовательно, $|x-3|$ — целое неотрицательное число. Тогда и $10 - |x-3|$ является целым числом.

Для того, чтобы значение функции $y = 2\sqrt{10 - |x-3|}$ было целым, необходимо, чтобы выражение под корнем, $K = 10 - |x-3|$, было полным квадратом, то есть $K=n^2$ для некоторого целого $n \ge 0$.

Поскольку $x \in [-7, 13]$, то $x-3 \in [-10, 10]$, а значит $|x-3|$ принимает целые значения от 0 до 10. Следовательно, $K = 10 - |x-3|$ может принимать целые значения от $10-10=0$ до $10-0=10$.

Нам нужно найти такие значения $K$, которые являются полными квадратами в диапазоне $[0, 10]$. Это числа $0, 1, 4, 9$.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: $10 - |x-3| = 9$

Тогда $|x-3| = 1$. Отсюда $x-3=1$ или $x-3=-1$. Получаем $x=4$ и $x=2$. При этих значениях $y=2\sqrt{9}=6$.

Случай 2: $10 - |x-3| = 4$

Тогда $|x-3| = 6$. Отсюда $x-3=6$ или $x-3=-6$. Получаем $x=9$ и $x=-3$. При этих значениях $y=2\sqrt{4}=4$.

Случай 3: $10 - |x-3| = 1$

Тогда $|x-3| = 9$. Отсюда $x-3=9$ или $x-3=-9$. Получаем $x=12$ и $x=-6$. При этих значениях $y=2\sqrt{1}=2$.

Случай 4: $10 - |x-3| = 0$

Тогда $|x-3| = 10$. Отсюда $x-3=10$ или $x-3=-10$. Получаем $x=13$ и $x=-7$. При этих значениях $y=2\sqrt{0}=0$.

Все найденные значения $x$ принадлежат области определения $[-7, 13]$.

Соберем все найденные целые значения $x$ в один список.

Ответ: $\{-7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13\}$.