Номер 1286, страница 283 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1286, страница 283.

1286. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению х² – у² = 69.

$$\begin{gathered} x^2-y^2=69 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=69 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=1·69=69·1 \\ \left(x-y\right)\left(x+y\right)=3·23=23·3 \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+y=69\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}x-y=69\\ x+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x=70\\ x-y=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}2x=70\\ x+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=35\\ 35-y=1\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=35\\ 35+y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=35\\ y=34\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=35\\ y=-34\notin N\end{array}\right.\end{array} \\ \begin{array}{lcl}\left\{\begin{array}{c}x-y=3\\ x+y=23\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{c}x-y=23\\ x+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2x=26\\ x-y=3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}2x=26\\ x+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=13\\ 13-y=3\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=13\\ 13+y=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=10\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x=13\\ y=-10\notin N\end{array}\right.\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $\left(35; 34\right)(35;34)$ или $\left(13; 10\right)(13;10)$

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 69$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y) = 69$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x \ge 1$ и $y \ge 1$. Следовательно, их сумма $x+y$ является натуральным числом, и $x+y \ge 1+1=2$.

Так как произведение $(x-y)(x+y) = 69$ положительно и множитель $x+y$ положителен, то и множитель $x-y$ должен быть положительным. Это означает, что $x > y$, и $x-y$ также является натуральным числом.

Таким образом, нам нужно найти два натуральных числа, $x-y$ и $x+y$, произведение которых равно 69. Кроме того, поскольку $y$ — натуральное число ($y>0$), то $x+y > x-y$.

Найдем все пары натуральных делителей числа 69. Разложим 69 на простые множители: $69 = 3 \times 23$. Делителями числа 69 являются 1, 3, 23, 69.

Составим пары множителей $(a, b)$, для которых $a \cdot b = 69$ и $a < b$ (так как $x-y < x+y$):

• $1 \times 69$
• $3 \times 23$

Это дает нам две возможные системы линейных уравнений.

Случай 1. Множители равны 1 и 69.

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 69 \end{cases}$

Сложив два уравнения системы, получим: $(x-y)+(x+y) = 1+69$, что дает $2x = 70$, откуда $x=35$.

Подставим значение $x=35$ во второе уравнение: $35 + y = 69$. Отсюда $y = 69 - 35 = 34$.

Получили пару натуральных чисел $(35, 34)$.

Случай 2. Множители равны 3 и 23.

$\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 23 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $(x-y)+(x+y) = 3+23$, что дает $2x = 26$, откуда $x=13$.

Подставим значение $x=13$ во второе уравнение: $13 + y = 23$. Отсюда $y = 23 - 13 = 10$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(13, 10)$.

Других пар делителей для числа 69 не существует, следовательно, мы нашли все решения в натуральных числах.

Ответ: $(13, 10)$, $(35, 34)$.