Номер 1275, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1275, страница 282.

1275. Какой цифрой оканчивается сумма 54³⁵ + 28²¹?

${54}^{35}+{28}^{21}=... 4+... 8=....2$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} 54·54=.. 4^2=... 6 \\ ..6·54=...4^3=... 4 \end{gathered}$$

$...4·54=... 4^4=...6$ и т.д., т.е. в чётной степени последняя цифра 6, а в нечётной - 4

${54}^{35}$ заканчивается цифрой 4.

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} 28·28=... 4 \\ 28·28·28=.. 8^3=... 2 \\ ...8^4=...6 \\ ...8^5=...6·8=... 8 \end{gathered}$$

$...8^6=...8·8=...4$ и т.д., т.е. последние цифры чередуются в таком порядке 4, 2, 6, 8, 4, 2, ....

${28}^{20}$ заканчивается цифрой 6, а ${28}^{21}$ заканчивается цифрой 8

4+8=12

Ответ: 2

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$, необходимо определить последнюю цифру каждого слагаемого и затем найти последнюю цифру их суммы.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Для первого слагаемого $54^{35}$ последняя цифра такая же, как у $4^{35}$. Рассмотрим, как меняется последняя цифра у степеней числа 4:$4^1$ оканчивается на 4;$4^2 = 16$ оканчивается на 6;$4^3 = 64$ оканчивается на 4;$4^4 = 256$ оканчивается на 6.Видно, что последние цифры циклически повторяются: 4, 6, 4, 6, ... . Если показатель степени нечетный, то число оканчивается на 4, а если четный — на 6. Так как показатель степени 35 является нечетным числом, то число $54^{35}$ оканчивается на 4.

Теперь рассмотрим второе слагаемое $28^{21}$. Его последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $8^{21}$. Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 8:$8^1$ оканчивается на 8;$8^2 = 64$ оканчивается на 4;$8^3 = 512$ оканчивается на 2;$8^4 = 4096$ оканчивается на 6;$8^5 = 32768$ оканчивается на 8.Последние цифры степеней числа 8 циклически повторяются с периодом 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $8^{21}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 21 на длину цикла 4.$21 \div 4 = 5$ с остатком 1.Остаток 1 соответствует первому числу в цикле, то есть 8. Следовательно, число $28^{21}$ оканчивается на 8.

Наконец, чтобы найти последнюю цифру суммы $54^{35} + 28^{21}$, нужно сложить последние цифры каждого слагаемого: $4 + 8 = 12$. Последняя цифра этого результата — 2.

Таким образом, сумма $54^{35} + 28^{21}$ оканчивается на цифру 2.

Ответ: 2