Номер 1271, страница 282 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности - номер 1271, страница 282.

1271. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{x^4+a^2{x}^2+a^4}{x^3+a^3}=\frac{{\left(x^2\right)}^2+2a^2{x}^2+{\left(a^2\right)}^2-a^2{x}^2}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}= \\ =\frac{{\left(x^2+a^2\right)}^2-a^2{x}^2}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}= \\ =\frac{\left(x^2+a^2-ax\right)\left(x^2+a^2+ax\right)}{\left(x+a\right)\left(x^2-ax+a^2\right)}=\frac{x^2+ax+a^2}{x+a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{8a^{n+2}+a^{n-1}}{16a^{n+4}+4a^{n+2}+a^n}=\frac{a^{n-1}\left(8a^3+1\right)}{a^n\left(16a^4+4a^2+1\right)}= \\ =\frac{a^{n-1-n}(2a+1)(4a^2-2a+1)}{{\left(4a^2\right)}^2+8a^2+1-4a^2}= \\ =\frac{a^{-1}\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}{{\left(4a^2+1\right)}^2-{\left(2a\right)}^2}= \\ =\frac{\left(2a+1\right)\left(4a^2-2a+1\right)}{\left(4a^2+1-2a\right)\left(4a^2+1+2a\right)a}=\frac{2a+1}{4a^3+2a^2+a} \end{gathered}$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3}$, разложим на множители её числитель и знаменатель.

Сначала преобразуем числитель. Для этого дополним его до полного квадрата, прибавив и вычтя слагаемое $a^2x^2$:
$x^4 + a^2x^2 + a^4 = (x^4 + 2a^2x^2 + a^4) - a^2x^2 = (x^2 + a^2)^2 - (ax)^2$.
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$(x^2 + a^2)^2 - (ax)^2 = (x^2 + a^2 - ax)(x^2 + a^2 + ax) = (x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)$.

Знаменатель разложим по формуле суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(x^2 - ax + a^2)$:
$\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3} = \frac{(x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)}{(x + a)(x^2 - ax + a^2)} = \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a}$.

Ответ: $\frac{x^2 + ax + a^2}{x + a}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{n-1}$:
$8a^{n+2} + a^{n-1} = a^{n-1}(8a^3 + 1)$.
Выражение в скобках является суммой кубов $ (2a)^3 + 1^3 $, которую можно разложить по формуле $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$:
$a^{n-1}(8a^3 + 1) = a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$ в наименьшей степени, то есть $a^n$:
$16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n = a^n(16a^4 + 4a^2 + 1)$.
Выражение в скобках преобразуем, выделив полный квадрат, аналогично пункту а):
$a^n(16a^4 + 4a^2 + 1) = a^n((16a^4 + 8a^2 + 1) - 4a^2) = a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2)$.
Применим формулу разности квадратов:
$a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2) = a^n(4a^2 + 1 - 2a)(4a^2 + 1 + 2a) = a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)$.

Подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n} = \frac{a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}{a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)}$.
Сократим общий множитель $(4a^2 - 2a + 1)$ и степени $a$ (поскольку $\frac{a^{n-1}}{a^n} = a^{n-1-n} = a^{-1} = \frac{1}{a}$):
$\frac{a^{n-1}(2a + 1)}{a^n(4a^2 + 2a + 1)} = \frac{1}{a} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{2a + 1}{a(4a^2 + 2a + 1)}$.

Ответ: $\frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a}$.