Номер 1264, страница 280 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Степень с целым показателем - номер 1264, страница 280.

1264. Корни x₁ и x₂ уравнения nx² – 5x + 1 = 0 связаны соотношением x₁⁻² + x₂⁻² = 13. Найдите n.

$$\begin{gathered} n{x}^2-5x+1=0, n\ne 0 \\ {x}^2-\frac{5}{n}x+\frac{1}{n}=0 \\ {x}_1^{-2}+x_2^{-2}=13 \\ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=13 \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2{x}_2^2}=13 \\ \frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2}{x_1^2{x}_2^2}=13 \\ {x}_1+x_2=\frac{5}{n}; x_1{x}_2=\frac{1}{n} \\ \frac{{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^2-2·\frac{1}{n}}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}=13 \\ \frac{{\displaystyle \frac{25}{n^2}-\frac{2}{n}}}{\frac{1}{n^2}}=13 \\ \frac{25-2n}{n^2}·\frac{n^2}{1}=13 \\ 25-2n=13 \\ 2n=12 \\ n=6 \end{gathered}$$

Ответ: $n=6n=6$

Дано квадратное уравнение $nx^2 - 5x + 1 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Для того чтобы уравнение было квадратным и имело два корня, необходимо, чтобы коэффициент при $x^2$ не был равен нулю, то есть $n \neq 0$. Также для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot n \cdot 1 = 25 - 4n \ge 0$, откуда $n \le \frac{25}{4}$ или $n \le 6.25$.

Согласно теореме Виета, для данного уравнения сумма и произведение корней равны:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-5}{n} = \frac{5}{n}$

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{1}{n}$

Нам дано соотношение $x_1^{-2} + x_2^{-2} = 13$. Преобразуем левую часть этого соотношения. Заметим, что поскольку свободный член уравнения равен 1, то $x=0$ не является корнем, следовательно $x_1 \neq 0$ и $x_2 \neq 0$, и выражение имеет смысл.

$x_1^{-2} + x_2^{-2} = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2}$

Выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, используя тождество $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим это выражение в преобразованное соотношение:

$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2} = 13$

Теперь подставим в это уравнение выражения для суммы и произведения корней из теоремы Виета:

$\frac{(\frac{5}{n})^2 - 2 \cdot (\frac{1}{n})}{(\frac{1}{n})^2} = 13$

Упростим полученное выражение:

$\frac{\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}} = 13$

Умножим числитель и знаменатель дроби на $n^2$ (так как мы установили, что $n \neq 0$):

$\frac{n^2 \cdot (\frac{25}{n^2} - \frac{2}{n})}{n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = 13$

$25 - 2n = 13$

Решим полученное линейное уравнение относительно $n$:

$25 - 13 = 2n$

$12 = 2n$

$n = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $n$ ранее установленным условиям: $n \neq 0$ и $n \le 6.25$.

$6 \neq 0$ и $6 \le 6.25$. Оба условия выполняются, следовательно, решение корректно.

Ответ: $n = 6$.